Andengradsligning

Ved en andengradsligning forstås en ligning på formen

a \cdot x^{2} + b \cdot x + c = 0 a, b, c \in ℝ, a \neq 0

Størrelserne $a$ , $b$ og $c$ kaldes andengradsligningen koefficienter og $x \in ℝ$ er den ubekendte, hvis værdi skal bestemmes med ligningen. Det første led, $a \cdot x^{2}$ kaldes andengradsleddet, $b \cdot x$ er førstegradsleddet og $c$ er konstantleddet (eller nultegradsleddet). Koefficeienten $a$ må kræves at være forskellig fra nul, da ligningen ellers ikke er af anden grad; der er ingen begrænsninger på $b$ og $c$ . Løsningerne til andengradsligningen kaldes dens rødder; en andengradsligning kan have 0, 1 eller 2 rødder.

Såfremt man arbejder inden for de reele tal $ℝ$ , betegnes den ubekendte normalt $x$ , men anden navngivning kan forekomme. Hvis ligningen ønskes løst inden for de komplekse tal $ℂ$ , betegnes den ubekendte normalt $z$ :

a \cdot z^{2} + b \cdot z + c = 0 a, b, c \in ℂ, a \neq 0

Komplekse andengradsligninger behandles i artiklen om komplekse tal.

Eksempler

Ligning		Kommentar
$2.5 \cdot x^{2} + 23 \cdot x + 53 = 0$		$a = 2.5, b = 23, c = 53$
$9 \cdot x^{2} - 66 \cdot x + 121 = 0$		$a = 9, b = - 66, c = 121$
$7 \cdot x^{2} - 33 \cdot x - 10 = 0$		$a = 7, b = - 33, c = - 10$
$7 \cdot q^{2} - 33 \cdot q - 10 = 0$		Samme ligning, blot med $q$ som ubekendt
$5 - x = x^{2}$		$a = 1, b = 1, c = - 5$ eller $a = - 1, b = - 1, c = 5$
$x^{4} + 3 \cdot x^{2} - 28 = 0$		"Iklædt" andengradsligning med $x^{2}$ som ukendt: $x^{4} = (x^{2})^{2}$
$2 \cdot \sqrt{3} \cdot x^{2} + (\sqrt{3} - 6) \cdot x - 3 = 0$		$a = 2 \cdot \sqrt{3}, b = \sqrt{3} - 6, c = - 3$

Løsning af en andengradsligning

Idéen i løsninger er at supplere anden- og førstegradsleddene med yderligere et led, således at de tre led kan omskrives ved hjælp af første kvadratsætning, som her skrives på formen

p^{2} + 2 \cdot p \cdot q + q^{2} = (p + q)^{2}

Vi skal nu prøve at identificere $p^{2}$ med andengradsleddet $a \cdot x^{2}$ og $2 \cdot p \cdot q$ med førstegradsleddet $b \cdot x$ . Imidlertid er $a \cdot x^{2}$ ikke et kvadrat. Men det kan opnås ved at multiplicere ligningen med en snedigt valgt faktor, som dels gør leddet kvadratisk og dels udskyder en trælsom division til allersidst:

	$a \cdot x^{2} + b \cdot x + c = 0$	Den givne ligning
$⇕$
	$4 \cdot a \cdot a \cdot x^{2} + 4 \cdot a \cdot b \cdot x + 4 \cdot a \cdot c = 0$	Multiplikation med $4 \cdot a$ ; lovligt, da $a \neq 0$
$⇕$
	$(2 \cdot a \cdot x)^{2} + 2 \cdot (2 \cdot a \cdot x) \cdot b + b^{2} - b^{2} + 4 \cdot a \cdot c = 0$	Faktorisering og addition af $b^{2} - b^{2}$
$⇕$
	$(2 \cdot a \cdot x + b)^{2} - b^{2} + 4 \cdot a \cdot c = 0$	Anvendelse af første kvadratsætning.
$⇕$
	$(2 \cdot a \cdot x + b)^{2} = b^{2} - 4 \cdot a \cdot c$	Konstantled flyttes til højre side
$⇕$
	$(2 \cdot a \cdot x + b)^{2} = d$	Kombinationen af koefficienterne betegnes $d$

Vi har her indført andengradsligningens diskriminant givet ved

d \equiv b^{2} - 4 \cdot a \cdot c

.

Diskriminantens fortegn bruges til at skelne (diskriminere) mellem antallet af løsninger til ligningen, hvilket udredes i det følgende. Vi arbejder videre med den fundne ligning,

(2 \cdot a \cdot x + b)^{2} = d

Man skelner mellem følgende tre situationer:


$d < 0$	Venstre side er et kvadrat og derfor ikke-negativ. Højre side er negativ. Lighedstegnet er derfor ikke opfyldt.
$d < 0$	Andengradsligningen har ingen løsninger.

$d = 0$	$2 \cdot a \cdot x + b = 0$	Anvendelse af nulreglen.
	$x = - \frac{b}{2 \cdot a}$	Lovlig division, da $a \neq 0$ .
	Andengradsligningen har én løsning: $x = - \frac{b}{2 \cdot a}$ .

$d > 0$	$(2 \cdot a \cdot x + b)^{2} - (\sqrt{d})^{2} = 0$	Diskriminanten omskrives til $d = (\sqrt{d})^{2}$ .
	$(2 \cdot a \cdot x + b + \sqrt{d}) \cdot (2 \cdot a \cdot x + b - \sqrt{d}) = 0$	Tredje kvadratsætning benyttes.
	$(2 \cdot a \cdot x + b + \sqrt{d} = 0) \lor (2 \cdot a \cdot x + b - \sqrt{d} = 0)$	Anvendelse af nulreglen.
	$(2 \cdot a \cdot x = - b - \sqrt{d}) \lor (2 \cdot a \cdot x = - b + \sqrt{d} = 0)$	Led flyttes over.
	$(x = \frac{- b - \sqrt{d}}{2 \cdot a}) \lor (x = \frac{- b + \sqrt{d}}{2 \cdot a})$	Lovlig division, da $a \neq 0$ .
	Andengradsligningen har to løsninger: $x = \frac{- b - \sqrt{d}}{2 \cdot a}$ og $x = \frac{- b + \sqrt{d}}{2 \cdot a}$ .

Eksempler på løsninger

I alle tilfælde starter man med at beregne diskriminanten $d$ .

Ligning	Løsning
$2.5 \cdot x^{2} + 23 \cdot x + 53 = 0$	$d = 2 3^{2} - 4 \cdot 2.5 \cdot 53 = - 1.$ Ingen løsninger
$9 \cdot x^{2} - 66 \cdot x + 121 = 0$	$d = 6 6^{2} - 4 \cdot 9 \cdot 121 = 0.$ Én løsning: $x = \frac{66}{2 \cdot 9} = \frac{11}{3}$
$7 \cdot x^{2} - 33 \cdot x - 10 = 0$	$d = (- 33)^{2} - 4 \cdot 7 \cdot (- 10) = 1369 = 3 7^{2} .$ To løsninger: $(x = \frac{33 - 37}{14}) \lor (x = \frac{33 + 37}{14}) \Leftrightarrow$ $(x = - \frac{2}{7}) \lor (x = 5)$
$x^{2} + x - 5 = 0$	$d = 1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 5) = 21.$ To løsninger: $(x = \frac{- 1 - \sqrt{21}}{2} \approx - 2.791 288) \lor$ $(x = \frac{- 1 + \sqrt{21}}{2} \approx 1.791 288)$
$x^{4} + 3 \cdot x^{2} - 28 = 0$	$d = 3^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 28) = 121 = 1 1^{2} .$ $(x^{2} = \frac{- 3 - 11}{2} = - 7) \lor (x^{2} = \frac{- 3 + 11}{2} = 4) \Leftrightarrow$ $x^{2} = 4 \Leftrightarrow (x = - 2) \lor (x = 2)$
$2 \cdot \sqrt{3} \cdot x^{2} + (\sqrt{3} - 6) \cdot x - 3 = 0$	$d = (\sqrt{3} - 6)^{2} - 4 \cdot 2 \cdot \sqrt{3} \cdot (- 3)$ $= 3 + 36 - 12 \cdot \sqrt{3} + 24 \cdot \sqrt{3}$ $= 39 + 12 \cdot \sqrt{3} = (6 + \sqrt{3})^{2}$ $(x = \frac{- \sqrt{3} + 6 - 6 - \sqrt{3}}{4 \cdot \sqrt{3}} = \frac{- 2 \cdot \sqrt{3}}{4 \cdot \sqrt{3}}) \lor$ $(x = \frac{- \sqrt{3} + 6 + 6 + \sqrt{3}}{4 \cdot \sqrt{3}} = \frac{12}{4 \cdot \sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}})$ $(x = - \frac{1}{2}) \lor (x = \sqrt{3})$

Normeret andengradsligning

Da $a \neq 0$ , kan enhver andengradsligning divideres igennem med $a$ , hvorved den får formen

x^{2} + s \cdot x + t = 0 s, t \in ℝ

Ligningen siges nu at være normeret. En normeret andengradsligning med to rødder $p$ og $q$ kan ifølge nul-reglen skrives på formen

(x - p) \cdot (x - q) = 0

eller

x^{2} - (p + q) \cdot x + p \cdot q = 0

Ved sammenligning af de to udtryk ser vi at

$p + q = - s$		Røddernes sum er koefficienten til førstegradsleddet med modsat fortegn
$p \cdot q = t$		Røddernes produkt er lig konstantleddet.

Har man en formodning om, at en forelagt ligning har to simple rødder, kan man undertiden bruge disse regler til ved hovedregning at finde rødderne; man siger uformelt, at man kaster et skarpt blik på ligningen.

Eksempel:

I ligningen $x^{2} + 9 \cdot x + 14 = 0$ er konstantleddet lig $14$ , der kan være produktet af $1$ og $14$ , $2$ og $7$ samt $- 1$ og $- 14$ og $- 2$ og $- 7$ . Da summen skal være $- 9$ , må rødderne være $- 2$ og $- 7$ .

Numerisk beregning af rødder

Med ovenstående formler er andengradsligningen $a \cdot x^{2} + b \cdot x + c = 0$ løst matematisk. Men ved praktisk beregning kan der opstå et problem med ciffertab ved subtraktion af to næsten lige store størrelser, fordi beregningen sker med et endeligt antal betydende cifre; for eksempel yder regnearket Excel 14 - 15 betydende cifre (side på engelsk).

I løsningsformlen for en andengradsligning indgår de to størrelser $- b - \sqrt{d}$ og $- b + \sqrt{d}$ . Hvis

- b = 0.123 456 789 012 34

\sqrt{d} = 0.123 456 789 012 33

så bliver differensen

- b - \sqrt{d} = 0.000 000 000 000 01

med et katastrofalt tab i antallet af betydende cifre.

Dette problem kan man imidlertid undgå ved at udnytte, at røddernes produkt (jfr. forrige afsnit) er $x_{1} \cdot x_{2} = c / a$ . Algoritmen bliver derfor følgende:

Beregn diskriminanten $d$ , der her antages positiv.

Hvis $b ≧ 0$ , så er både $- b$ og $- \sqrt{d}$ negative: Sæt $x_{1} = \frac{- b - \sqrt{d}}{2 \cdot a}$ og $x_{2} = \frac{c}{a \cdot x_{1}}$ .

Hvis $b < 0$ , så er både $- b$ og $\sqrt{d}$ positive: Sæt $x_{2} = \frac{- b + \sqrt{d}}{2 \cdot a}$ og $x_{1} = \frac{c}{a \cdot x_{2}}$ .

Eksempel:

Andengradsligningen

x^{2} - (1 0^{n} + 1 0^{- n}) \cdot x + 1 = 0 n \in ℕ

er konstrueret til at have de eksakte rødder $1 0^{n}$ og $1 0^{- n}$ . Dens diskriminant er

d = 1 0^{2 \cdot n} - 2 + 1 0^{- 2 \cdot n}

.

Vælges $n = 3$ , fås ligningen $x^{2} - 1000.001 \cdot x + 1 = 0$ og diskriminanten $d = 999 998.000 001$ .

Tabellen herunder viser, hvilke resultater man når frem til med de "matematiske" formler for $x_{1}$ og $x_{2}$ og den "numeriske" formel for $x_{1}$ , såfremt alle beregninger udføres med 6 betydende cifre.

$n$	$b$	$b^{2}$	$d$	$\sqrt{d}$	$- b - \sqrt{d}$	$- b + \sqrt{d}$	$x_{1}$ Klassisk	$x_{2}$ Klassisk	$x_{1}$ Fra $x_{2}$
$1$	$- 10.1$	$102.010$	$98.01$	$9.9$	$0.200000$	$20$	$0.1$	$10$	$0.1$
$2$	$- 100.01$	$10002$	$9998.00$	$99.99$	$0.02001$	$200$	$0.01$	$100$	$0.01$
$3$	$- 1000$	$1000000$	$999996$	$999.998$	$0.00200000$	$2000$	$0.001$	$1000$	$0.001$
$4$	$- 1 0^{4}$	$1 0^{8}$	$1 0^{8}$	$1 0^{4}$	$0$	$20000$	$0$	$10000$	$0.0001$
$5$	$- 1 0^{5}$	$1 0^{10}$	$1 0^{10}$	$1 0^{5}$	$0$	$200000$	$0$	$100000$	$0.00001$

Som det ses, svigter den klassiske metode i de to sidste situationer, medens den modificerede fremgangsmåde leverer korrekte rødder.

Andengradsulighed

En andengradsulighed er et åbent udsagn af typen

a \cdot x^{2} + b \cdot x + c < 0

a \cdot x^{2} + b \cdot x + c ≦ 0

a \cdot x^{2} + b \cdot x + c > 0

a \cdot x^{2} + b \cdot x + c ≧ 0

hvor $a, b, c \in ℝ, a \neq 0$ .

Løsningsmængden $L$ , dvs. samlingen ef $x$ -værdier, som gør det åbne udsagn sandt, findes ved først at løse den tilhørende andengradsligning $a \cdot x^{2} + b \cdot x + c = 0$ og derefter foretage en fortegnsundersøgelse for det tilhørende andengradspolynomium $P (x) = a \cdot x^{2} + b \cdot x + c$ .

Eksempler på andengradsuligheder

Eksempel 1

x^{2} + 6 \cdot x + 5 < 0

Den tilhørende andengradsligning $x^{2} + 6 \cdot x + 5 = 0$ ses ved anvendelse af løsningsmetoden ovenfor (eller ved at kaste et skarpt blik på den) at have rødderne $- 5$ og $- 1$ . Sættes $x = 0$ , fås resultatet $+ 5$ , der ikke er mindre end nul.

Polynomiets fortegnsvariation må da være som vist på fortegnsaksen herover. Løsningsmængden $L$ kan nu aflæses:

x^{2} + 6 \cdot x + 5 < 0 \Rightarrow L =] - 5; - 1 [

Eksempel 2:

x^{2} + 6 \cdot x + 5 ≦ 0 \Rightarrow L = [- 5; - 1]

Eksempel 3:

x^{2} + 6 \cdot x + 5 > 0 \Rightarrow L =] - \infty; - 5 [\cup] - 1; + \infty [

Eksempel 4:

x^{2} + 6 \cdot x + 5 ≧ \frac{1}{4} \cdot x^{2} + \frac{47}{4}

Uligheden omskrives til standardform:

4 \cdot x^{2} + 24 \cdot x + 20 ≧ x^{2} + 47 \Rightarrow 3 \cdot x^{2} + 24 \cdot x - 27 ≧ 0 \Rightarrow x^{2} + 8 \cdot x - 9 ≧ 0

Andengradsligningen $x^{2} + 8 \cdot x - 9 = 0$ har rødderne $- 9$ og $1$ , og da udtrykkets værdi for $x = 0$ er negativt, ligger løsningsmængden uden for rodintervallet:

L =] - \infty; - 9 [\cup] 1; + \infty [

.

Løsningerne kan illustreres ved at tegne graferne for de to involverede andengradspolynomier,

P (x) = x^{2} + 6 \cdot x + 5

og

Q (x) = \frac{1}{4} \cdot x^{2} + \frac{47}{4}

Uligheden fra eksempel 1 svarer da til at spørge om, for hvilke $x$ -værdier grafen for $P$ ligger under førsteaksen, medens dobbeltuligheden svar til at spørge om, for hvilke $x$ -værdier grafen for $P$ ligger over eller på grafen for $Q$ .

Kilder

↑ Erik Kristensen, Ole Rindung: Matematik I, G.E.C.Gads Forlag, 1968, side 156 f.
↑ Jens Carstensen, Jesper Frandsen: Matematik 1, Systime 1988, side 45 f.
↑ Esper Fogh, Knud Erik Nielsen: Vejen til matematik AB 1, Forlaget Hax, 2005, side 43 f.
↑ Kristensen og Rindung, side 162
↑ Holth, Klaus m.fl. (1987): Matematik Grundbog 1. Forlaget Trip, Vejle. ISBN 87-88049-18-3 (s. 117)
↑ Kristensen og Rindung, side 161

[KR-1] Erik Kristensen, Ole Rindung: Matematik I, G.E.C.Gads Forlag, 1968, side 156 f.

[2] Jens Carstensen, Jesper Frandsen: Matematik 1, Systime 1988, side 45 f.

[3] Esper Fogh, Knud Erik Nielsen: Vejen til matematik AB 1, Forlaget Hax, 2005, side 43 f.

[4] Kristensen og Rindung, side 162

[5] Holth, Klaus m.fl. (1987): Matematik Grundbog 1. Forlaget Trip, Vejle. ISBN 87-88049-18-3 (s. 117)

[6] Kristensen og Rindung, side 161