Cosinusrelation

Cosinusrelationerne er en række trigonometriske formler, som kan bruges til at beregne ukendte vinkler eller sider i en vilkårlig trekant. Sidernes længder betegnes traditionelt ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$ og ${\displaystyle c}$ og deres modstående vinkler for henholdsvis ${\displaystyle A}$, ${\displaystyle B}$ og ${\displaystyle C}$.

For bestemmelse af vinklerne ud fra siderne benyttes cosinusrelationerne, som vises herunder:

${\displaystyle \cos(A)={\frac {b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2\cdot b\cdot c}}}$

${\displaystyle \cos(B)={\frac {a^{2}+c^{2}-b^{2}}{2\cdot a\cdot c}}}$

${\displaystyle \cos(C)={\frac {a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2\cdot a\cdot b}}}$

For bestemmelse af sider omskrives formlerne således:

${\displaystyle {a^{2}}={b^{2}+c^{2}-2\cdot b\cdot c\cdot \cos(A)}}$

${\displaystyle {b^{2}}={a^{2}+c^{2}-2\cdot a\cdot c\cdot \cos(B)}}$

${\displaystyle {c^{2}}={a^{2}+b^{2}-2\cdot a\cdot b\cdot \cos(C)}}$

For en retvinklet trekant er en af vinklerne lig med 90° og dens cosinus derfor lig med 0. Disse cosinusrelationer reduceres i så fald til den klassiske Pythagoras' sætning for retvinklede trekanter, ${\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}}$; de kaldes derfor også den udvidede Pythagoras.

Ved anvendelse af cosinusrelationerne vil man i én af ovenstående ligninger isolere enten en side eller en vinkel. Da en vinkel i en trekant altid har en værdi mellem 0° og 180°, er den entydigt bestemt af sin cosinus, der aftager monotont fra værdien cos(0°) = +1 til cos(180°) = −1.

Eksempler

Bestemmelse af vinkler:

Lad en trekant have sidelængderne

${\displaystyle a=13,\;b=19,\;c=11}$

Vi finder da, at

${\displaystyle \cos(A)={\frac {361+121-169}{2\cdot 19\cdot 11}}={\frac {313}{418}}}$	${\displaystyle \quad \Rightarrow \quad }$	${\displaystyle A=\operatorname {arccos} \,\left({\frac {313}{418}}\right)}$	${\displaystyle \approx 41.513^{\circ }}$
${\displaystyle \cos(B)={\frac {169+121-361}{2\cdot 13\cdot 11}}=-{\frac {71}{286}}}$	${\displaystyle \quad \Rightarrow \quad }$	${\displaystyle B=\operatorname {arccos} \,\left(-{\frac {71}{286}}\right)}$	${\displaystyle \approx 104.374^{\circ }}$
${\displaystyle \cos(C)={\frac {169+361-121}{2\cdot 13\cdot 19}}={\frac {409}{494}}}$	${\displaystyle \quad \Rightarrow \quad }$	${\displaystyle C=\operatorname {arccos} \,\left({\frac {409}{494}}\right)}$	${\displaystyle \approx 34.113^{\circ }}$
Kontrol	${\displaystyle \quad$ :\quad }	${\displaystyle A+B+C}$	${\displaystyle \approx 180.000^{\circ }}$

Bestemmelse af en side:

Lad en trekant have stykkerne

${\displaystyle a=13,\;b=19,\;C=34^{\circ }}$

Vi søger siden ${\displaystyle c}$:

${\displaystyle {c^{2}}={169+361-2\cdot 13\cdot 19\cdot \cos(34^{\circ })}\approx 120.4554}$

${\displaystyle {c}\approx 10.975}$

Beviser

Beviset falder i to dele, alt efter om vinklen er spids eller stump.

Spids vinkel, C < 90°

Som vist på illustrationen nedfældes den vinkelrette fra B. Den danner en højde i trekanten med fodpunkt F. Man indfører to hjælpestørrelser, højdens længde ${\displaystyle h}$ og delstykket ${\displaystyle x}$. Vi kan nu anvende Pythagoras' sætning på de to dannede retvinklede trekanter:

Trekant FBC: ${\displaystyle \quad h^{2}=a^{2}-x^{2}}$

Trekant FBA: ${\displaystyle \quad h^{2}=c^{2}-(b-x)^{2}}$

Da venstresiderne er ens, er højresiderne det også:

${\displaystyle a^{2}-x^{2}=c^{2}-(b-x)^{2}}$

${\displaystyle a^{2}-c^{2}=x^{2}-(b-x)^{2}}$

${\displaystyle a^{2}-c^{2}={\color {Blue}x^{2}}-b^{2}-{\color {Blue}x^{2}}+2\cdot b\cdot x}$

${\displaystyle 2\cdot b\cdot x=a^{2}+b^{2}-c^{2}\qquad }$(${\displaystyle x^{2}}$ går ud!)

${\displaystyle x={\frac {a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2\cdot b}}}$

Omsider får vi

${\displaystyle \cos(C)={\frac {x}{a}}={\frac {a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2\cdot a\cdot b}}}$

Q.E.D.

Beviserne for de to andre vinkler følger ved simpel bogstavombytning.

Stump vinkel, C > 90°

Som vist på illustrationen nedfældes den vinkelrette fra B og man indfører to hjælpestørrelser, højdens længde ${\displaystyle h}$ og delstykket ${\displaystyle x}$. danner en højde i trekanten med længde ${\displaystyle h}$ og fodpunkt F. Igen anvendes Pythagoras' sætning på de to dannede retvinklede trekanter:

Trekant FBC: ${\displaystyle \quad h^{2}=a^{2}-x^{2}}$

Trekant FBA: ${\displaystyle \quad h^{2}=c^{2}-(b+x)^{2}}$

Man får nu, at

${\displaystyle a^{2}-x^{2}=c^{2}-(b+x)^{2}}$

${\displaystyle a^{2}-c^{2}=x^{2}-(b+x)^{2}}$

${\displaystyle a^{2}-c^{2}={\color {Blue}x^{2}}-b^{2}-{\color {Blue}x^{2}}-2\cdot b\cdot x}$

${\displaystyle 2\cdot b\cdot x=-a^{2}-b^{2}+c^{2}\qquad }$(${\displaystyle x^{2}}$ går ud!)

${\displaystyle x=-{\frac {a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2\cdot b}}}$

Omsider får vi

${\displaystyle \cos(180^{\circ }-C)={\frac {x}{a}}=-{\frac {a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2\cdot a\cdot b}}}$

${\displaystyle \cos(C)=-\cos(180^{\circ }-C)={\frac {a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2\cdot a\cdot b}}}$

jævnfør en egenskab ved cosinus. Det er altså samme formel som ovenfor.

Q.E.D

Cosinusrelationen for sfæriske trekanter

For sfæriske trekanter på en kugleoverflade gælder gælder andre formler som også kaldes cosinusrelationer. De sfæriske cosinusrelationer er:

${\displaystyle \cos(a)=\cos(b)\cdot \cos(c)+\sin(b)\cdot \sin(c)\cdot \cos(A)}$

${\displaystyle \cos(b)=\cos(c)\cdot \cos(a)+\sin(c)\cdot \sin(a)\cdot \cos(B)}$

${\displaystyle \cos(c)=\cos(a)\cdot \cos(b)+\sin(a)\cdot \sin(b)\cdot \cos(C)}$

Se også

• Trekant
• Trekanttilfælde
  • Retvinklet trekant
• Sinusrelationen
• Sfærisk trigonometri

Bøger

Emnet behandles i alle matematikbøger på gymnasiets A-niveau.

• Klaus Holth m.fl. (1987): Matematik Grundbog 1, side 60. Forlaget Trip, Vejle. ISBN 87-88049-18-3.
• Jens Carstensen, Jesper Frandsen (1997): MAT 1, side 190. Systime. ISBN 87-7783-879-3.
• Knud Erik Nielsen, Esper Fogh (2010): Vejen til matematik AB1, side 299. Forlaget Hax. ISBN 978-87-89839-37-0.

Referencer

Eksterne henvisninger

CosSinCalc – Et online-værktøj, der udregner sider og vinkler i en trekant.