Enhedsrod

En enhedsrod er i matematik et komplekst tal der giver 1 når det opløftes i en heltallig eksponent. For eksempel er tallene -1 og $i$ begge enhedsrødder, da $(- 1)^{2} = 1$ og $i^{4} = 1$ .

Definition

De $n$ 'te enhedsrødder, hvor $n$ er et naturligt tal, er de tal, som løser ligningen

z^{n} = 1.

De eneste mulige reelle enhedsrødder er tallene 1 og −1: 1 er altid en enhedsrod og -1 vil være det hvis $n$ er lige. Men rødderne kan, medmindre andet er specificeret, også være komplekse tal, og her er de $n$ 'te enhedsrødder alle på formen

\cos \frac{2 k π}{n} + i \sin \frac{2 k π}{n} = e^{\frac{2 k π . i}{n}}, k = 0, \dots, n - 1 .

Der vil altid være præcis $n$ forskellige $n$ 'te enhedsrødder.

Primitive enhedsrødder

En $n$ 'te enhedsrod siges at være primitiv hvis den ikke også er en $j$ 'te enhedsrod, hvor $j$ er mindre end $n$ . Altså, hvis det gælder, at

z^{n} = 1 \land z^{j} \neq 1 for 1 \leq j < n,

så er $z$ en primitiv $n$ 'te enhedsrod.

Hvis $n$ er et primtal gælder, at alle $n$ 'te enhedsrødder, på nær 1, er primitive.

Egenskaber

Enhedsrødder vil altid ligge på enhedscirklen i den komplekse talplan, og de $n$ 'te enhedsrødder danner hjørnerne i en regulær $n$ -kant. Derfor er alle afstanden fra alle enhedsrødder og origo (tallet 0 i den komplekse talplan) lig 1. Altså:

$| z | = 1$ ,

for alle enhedsrødder $z$ .

Opløfter man en $n$ 'te enhedsrod i en heltallig eksponent vil man igen få en $n$ 'te enhedsrod, da

(z^{k})^{n} = z^{k n} = (z^{n})^{k} = 1^{k} = 1.

Dette gælder også for negative eksponenter. Specielt er den reciprokke værdi af en $n$ 'te enhedsrod dens komplekst konjugerede, og den er også en $n$ 'te enhedsrod:

\frac{1}{z} = z^{- 1} = z^{n} z^{- 1} = z^{n - 1} = \bar{z} .

Relation til Eulers totientfunktion

Lad $z$ være en primitiv $n$ 'te enhedsrod. Da vil tallet $z^{k}$ være en primitiv $m$ 'te enhedsrod for

m = \frac{n}{sfd (k, n)},

hvor $sfd (k, n)$ betegner den største fælles divisor for $k$ og $n$ .

Dette skyldes, at $k m$ er det mindste multiplum af $k$ , som også er et multiplum af $n$ . Altså, $k m$ er det mindste fælles multiplum af $k$ og $n$ , $mfm (k, n)$ . Dermed fås

m = \frac{mfm (k, n)}{k} = \frac{k n}{k sfd (k, n)} = \frac{n}{sfd (k, n)} .

Derfor, hvis $k$ og $n$ er indbyrdes primiske, så er $z^{k}$ også en primitiv $n$ 'te enhedsrod. Dette fører til, at antallet af primitive $n$ 'te enhedsrødder er lig $φ (n)$ , hvor $φ$ er Eulers totientfunktion, da $φ (n)$ tæller antallet af tal mindre end eller lig $n$ , som er indbyrdes primiske med $n$ . Dette forklarer også, hvorfor alle $n$ 'te enhedsrødder (på nær 1), hvor $n$ er et primtal, er primitive.

Referencer

1 2 3 Christian Ulrik Jensen (2024-02-02). "enhedsrod". Lex. Hentet 2026-06-15.{{cite web}}: CS1-vedligeholdelse: url-status (link)
↑ Bruce E. Meserve (1982). Fundamental Concepts of Algebra. Dover Publications. s. 52. (på engelsk).
1 2 Patrick Morandi (1996). Field and Galois theory. Graduate Texts in Mathematics. Vol. 167. Springer. s. 74. ISBN 978-0-387-94753-2 (på engelsk).
1 2 Anders Thorup https://web.math.ku.dk/~thorup/kurser/elmtal-09/at3.pdf.
↑ Politikens Matematiske Opslagsbog s. 68 ISBN 87-567-5511-2.
↑ Norman R. Reilly (2009). Introduction to Applied Algebraic Systems. Oxford University Press. s. 137. ISBN 978-0-19-536787-4. (på engelsk).
↑ Joseph J. Rotman (2015). Advanced Modern Algebra. Vol. 1 (3rd ed.). American Mathematical Society. s. 129. ISBN 9781470415549. (på engelsk).

[:0-1] 1 2 3 Christian Ulrik Jensen (2024-02-02). "enhedsrod". Lex. Hentet 2026-06-15.{{cite web}}: CS1-vedligeholdelse: url-status (link)

[2] Bruce E. Meserve (1982). Fundamental Concepts of Algebra. Dover Publications. s. 52. (på engelsk).

[:1-3] 1 2 Patrick Morandi (1996). Field and Galois theory. Graduate Texts in Mathematics. Vol. 167. Springer. s. 74. ISBN 978-0-387-94753-2 (på engelsk).

[:2-4] 1 2 Anders Thorup https://web.math.ku.dk/~thorup/kurser/elmtal-09/at3.pdf.

[5] Politikens Matematiske Opslagsbog s. 68 ISBN 87-567-5511-2.

[6] Norman R. Reilly (2009). Introduction to Applied Algebraic Systems. Oxford University Press. s. 137. ISBN 978-0-19-536787-4. (på engelsk).

[7] Joseph J. Rotman (2015). Advanced Modern Algebra. Vol. 1 (3rd ed.). American Mathematical Society. s. 129. ISBN 9781470415549. (på engelsk).