Keglestub

En keglestub er en kegle, hvor toppen er skåret af.

Arealet af den krumme overflade på en keglestub er givet ved

$A = π s (R + r)$

hvor:

$R$ er radius i den store cirkulære endeflade.
$r$ er radius i den lille cirkulære endeflade.
$s$ er afstanden mellem de to cirkelperiferier.

$s$ kan udregnes vha. Pythagoras sætning (a²+b²=c²). a: keglestubbens højde, b: $R$ - $r$ og c: $s$ .

Altså: $h^{2} + (R - r)^{2} = s^{2}$

Rumfanget (Volumen) af en keglestub er givet ved

$V = \frac{1}{3} h π (R^{2} + r^{2} + R r)$

hvor:

$h$ er højden i figuren
$R$ er radius i den store cirkulære endeflade.
$r$ er radius i den lille cirkulære endeflade.

Bevis for rumfangs formel

Ovenstående formel kan findes ved at benytte reglen for udregning af volumen for omdrejnings legemer.

For en funktion $y = f (x)$ som drejes 360˚ omkring x-aksen mellem punkterne $a$ og $b$ , kan man finde volumen af det frembragte omdrejnings legeme ved dette udtryk

$V = \int_{a}^{b} π f (x)^{2} d x$

For en keglestub gælder $f (x) = r + x \cdot \frac{R - r}{h}$ og det ønskede omdrejnings volumen findes med $a = 0$ og $b = h$ .

$V = \int_{0}^{h} π {(r + x \cdot \frac{R - r}{h})}^{2} d x$

$V = π \int_{0}^{h} (r^{2} + x^{2} \cdot {(\frac{R - r}{h})}^{2} + 2 \cdot r \cdot x \cdot \frac{R - r}{h}) d x$

$V = π {(x \cdot r^{2} + \frac{1}{3} x^{3} \cdot {(\frac{R - r}{h})}^{2} + 2 \cdot r \cdot \frac{1}{2} x^{2} \cdot \frac{R - r}{h}) |}_{0}^{h}$

$V = \frac{1}{3} π h (R^{2} + r^{2} + R r)$

Volumenet for en keglestub-skal med konstant tykkelse kan ud fra ovenstående vises at være

$V = π h t (R + r - t)$

hvor:

$t$ er skallens tykkelse målt parallelt med bunden og toppen.
$R$ og $r$ er keglestubben udvendige mål

Hvis tykkelsen er målt vinkelret på skallens overflade skal $t$ erstattes med

$t = T \frac{\sqrt{(R - r)^{2} + h^{2}}}{h}$

hvor:

$T$ er skallens tykkelse målt vinkelret på den skrå overflade.

Se også

Pyramidestub

Eksterne henvisninger

Wikimedia Commons har flere filer relateret til Stubbe

Spire

Denne artikel om geometri er en spire som bør udbygges. Du er velkommen til at hjælpe Wikipedia ved at udvide den.