Potensgennemsnit

Potensgennemsnit er en generalisering af det aritmetiske gennemsnit, det harmoniske gennemsnit og det geometriske gennemsnit.

Definition

For positive tal x₁, x₂, ..., x_n, og for et reelt tal p forskelligt fra 0, defineres: ${\displaystyle M_{p}(x_{1},\dots ,x_{n})=\left({\frac {1}{n}}\cdot \sum _{i=1}^{n}x_{i}^{p}\right)^{1/p}}$

Egenskaber

• ${\displaystyle M_{p}}$ er en homogen funktion af x₁, x₂, ..., x_n. Det betyder et der for ethvert positivt reelt tal b gælder:

${\displaystyle bM_{p}(x_{1},\dots ,x_{n})=M_{p}(bx_{1},\dots ,bx_{n})}$

• Hvis p < q så ${\displaystyle M_{p}(x_{1},\dots ,x_{n})\leq M_{q}(x_{1},\dots ,x_{n})}$ med lighed hvis og kun hvis x₁=x₂=...=x_n.
• Hvis man betragter M som en funktion af p, er funktionen kontinuert.

Specialtilfælde

• ${\displaystyle M_{-1}(x_{1},\dots ,x_{n})={\frac {n}{{\frac {1}{x_{1}}}+\dots +{\frac {1}{x_{n}}}}}}$ – det harmoniske gennemsnit,
• ${\displaystyle M_{1}(x_{1},\dots ,x_{n})={\frac {x_{1}+\dots +x_{n}}{n}}}$ – det aritmetiske gennemsnit (det normale gennemsnit),
• ${\displaystyle M_{2}(x_{1},\dots ,x_{n})={\sqrt {\frac {x_{1}^{2}+\dots +x_{n}^{2}}{n}}}}$ – det kvadratiske gennemsnit,
• ${\displaystyle \lim _{p\to -\infty }M_{p}(x_{1},\dots ,x_{n})=\min\{x_{1},\dots ,x_{n}\}}$ – den mindste af x-værdierne,
• ${\displaystyle \lim _{p\to 0}M_{p}(x_{1},\dots ,x_{n})={\sqrt[{n}]{x_{1}\cdot \dots \cdot x_{n}}}}$ – det geometriske gennemsnit,
• ${\displaystyle \lim _{p\to \infty }M_{p}(x_{1},\dots ,x_{n})=\max\{x_{1},\dots ,x_{n}\}}$ – den største af x-værdierne.

På grund af de tre grænseværdier kan man definere ${\displaystyle M_{0}(x_{1},\dots ,x_{n})={G}}$, hvor G er det geometriske gennemsnit, samt ${\displaystyle M_{\infty }(x_{1},\dots ,x_{n})=\max\{x_{1},\dots ,x_{n}\}}$ og ${\displaystyle M_{-\infty }(x_{1},\dots ,x_{n})=\min\{x_{1},\dots ,x_{n}\}}$