Supremum

I matematikken siges supremum for en delmængde $A \subseteq ℝ$ af de reelle tal at være delmængdens mindste øvre grænse. Hvis $x$ er et sådant, skrives typisk: $x = sup A$ .

Hvis en mængde har flere øvre grænser, vil dens supremum således være den mindste af disse. Ved en øvre grænse i en mængde $A \subset ℝ$ forstås et reelt tal, $x$ , der er større end eller lig alle elementer i $A$ . Eksempelvis er 3 en øvre grænse for mængden {1,2,3}. Formelt:

$\forall a \in A : x \geq a$ .

Har en mængde en øvre grænse siges den at være opad begrænset.

Den mindste øvre grænse kan så defineres ved at $x \in ℝ$ er en øvre grænse i $A \subset ℝ$ , og hvis $b$ er en øvre grænse i $A$ er $x \leq b$ .

Eksempler

$sup {1, 2, 3} = 3$

$sup {(- 1)^{n} ∣ n \in ℕ} = 1$

$sup {x \in ℝ ∣ x^{2} = 2} = \sqrt{2}$

Supremumsegenskaben

En totalt ordnet mængde siges at have supremumsegenskaben, hvis enhver ikke-tom, opadtil begrænset delmængde af den har supremum.

En mængde har supremumsegenskaben, hvis og kun hvis den har infimumsegenskaben.

Se også

Infimum