*-Algebra

Eine *-Algebra ist ein mathematischer Begriff aus der abstrakten Algebra. Eine *-Algebra bezeichnet eine algebraische Struktur, die einen involutiven Antiautomorphismus besitzt. Die Notation des Sterns kommt von der Notation für adjungierte Operatoren.

Definition

Eine *-Algebra $𝒜$ über $ℂ$ ist ein komplexer Vektorraum mit einem $ℂ$ -bilinearen, assoziativen Produkt $(a, b) \mapsto a b$ und einer Abbildung $* : a \mapsto a^{*}$ , welche ein $ℂ$ -antilinearer, involutiver Antiautomorphismus ist. Es gilt also

für $a, b \in 𝒜$ und $s, t \in ℂ$ .

Sei $f (x) := x^{*}$ , dann gilt in dieser Notation

für $a, b \in 𝒜$ und $s, t \in ℂ$ .

Die komplexen Zahlen $ℂ$ bilden mit der durch komplexe Konjugation gegebenen Abbildung $z^{*} := \overline{z}$ eine *-Algebra.
Die Algebra $Mat (n, ℂ)$ der komplexen $n \times n$ -Matrizen mit der durch Bildung der transponiert-konjugierten Matrix gegebenen Abbildung $A^{*} := {\overline{A}}^{T}$ ist eine *-Algebra.
Die beschränkten Operatoren eines gegebenen Hilbert-Raumes $ℋ$ bilden mit der durch Adjunktion von Operatoren gegebenen Abbildung eine *-Algebra $ℬ (ℋ)$ . Nach Definition der Adjunktion gilt die Gleichung $⟨ T x, y ⟩ = ⟨ x, T^{*} y ⟩$ für alle $T \in ℬ (ℋ), x, y \in ℋ$ .
Die kompakten Operatoren eines gegebenen Hilbert-Raumes $ℋ$ bilden eine *-Unteralgebra $𝒦 (ℋ) \subset ℬ (ℋ)$ .
Von-Neumann-Algebren sind *-Unteralgebren von $ℬ (ℋ)$ für einen Hilbert-Raum $ℋ$ .
Die Automorphismen einer abelschen Varietät bilden mit der Rosati-Involution eine *-Algebra.
Ist $G$ eine lokalkompakte Gruppe, so trägt die L¹-Gruppenalgebra $L^{1} (G)$ eine Involution, die $L^{1} (G)$ zu einer *-Algebra macht. Für $f \in L^{1} (G)$ ist $f^{*} \in L^{1} (G)$ definiert durch $f^{*} (t) = Δ (t)^{- 1} \overline{f (t^{- 1})}$ , wobei $Δ$ die modulare Funktion von $G$ ist.

↑ Stefan Waldmann: Poisson-Geometrie und Deformationsquantisierung. Springer Verlag, 2001, ISBN 978-3-540-72517-6.