Abbe-Zahl

Die Abbe-Zahl, auch Abbesche Zahl, ist eine dimensionslose Zahl zur Charakterisierung der optischen dispersiven Eigenschaften von optischen Gläsern, also wie stark sich deren Brechungsindex mit der Lichtwellenlänge ändert. Je größer die relative Dispersion des Glases, desto kleiner ist deren Kehrwert, die Abbe-Zahl.

Die Abbe-Zahl ist nach dem deutschen Physiker Ernst Abbe benannt. Als Formelzeichen ist ${\displaystyle \nu }$ üblich [sprich: ny], der 13. Buchstabe im griechischen Alphabet. In der Fachliteratur der rechnenden Optiker sowie in Patentschriften kommt als Synonym auch der Ausdruck ny-Wert und sogar nü-Wert vor.

Grundlagen

Die Stärke der Brechung des Lichts ist von dessen Wellenlänge (man kann auch sagen: von der Lichtfarbe) abhängig. Dies wird als Dispersion bezeichnet und ist beispielsweise der Grund für die Aufspaltung eines weißen Lichtstrahls an einem Prisma in ein farbiges Spektrum. Alle für optische Bauelemente (z. B. Linsen) verwendeten Materialien zeigen eine mehr oder weniger starke Dispersion. Optische Geräte wie etwa Fotoobjektive bilden deshalb im Allgemeinen die verschiedenen Lichtfarben unterschiedlich ab, was sich durch farbige Ränder an den Bildern von Objektkanten oder farbige Halos um helle Lichtquellen zeigen kann. Dieser Abbildungsfehler heißt chromatische Aberration.

Für eine vollständige Beschreibung der Dispersion eines Materials (z. B. einer Glassorte) wird angegeben, wie sich der Brechungsindex ${\displaystyle n}$ des Materials bei Variation der Frequenz ${\displaystyle f}$ bzw. Wellenlänge ${\displaystyle \lambda }$ des Lichts ändert. Es muss daher die Funktion ${\displaystyle n(f)}$ oder ${\displaystyle n(\lambda )}$ angegeben werden. Dazu kann man entweder den Brechungsindex bei verschiedenen festgelegten Wellenlängen angeben oder einen Satz von Koeffizienten einer Dispersionsformel wie der Cauchy- oder der Sellmeier-Gleichung. Für einfache Berechnungen ist es jedoch oft ausreichend, die Dispersion im Bereich des sichtbaren Lichts durch einen einzigen Parameter, nämlich die Abbe-Zahl, zu beschreiben.

Definition

Die dimensionslose Abbe-Zahl ${\displaystyle \nu }$ ist definiert als

${\displaystyle \nu _{d}={\frac {n_{\rm {d}}-1}{n_{\rm {F}}-n_{\rm {C}}}}}$ (alte Definition)

oder

${\displaystyle \nu _{e}={\frac {n_{\rm {e}}-1}{n_{\rm {F'}}-n_{\rm {C'}}}}}$ (neue Definition),

wobei n_d, n_F usw. die Brechungsindizes des Materials bei den Wellenlängen der entsprechenden Fraunhoferlinien sind.

Bei der Abbeschen Zahl werden also zur Kategorisierung des Dispersionsverhaltens eines optischen Mediums dessen Brechzahlunterschiede ins Verhältnis zueinander gesetzt; und zwar die Differenz der Brechzahl für die sogenannte Hauptfarbe (entweder die gelbe d-Linie oder die grüne e-Linie) zur Brechzahl der Luft (bzw. des Vakuums) im Verhältnis zum Abstand zwischen der Brechzahl für den blauen und den roten Spektralbereich (die sogenannte Hauptdispersion). Grundsätzlich gilt: Ein Material mit geringer Dispersion hat eine hohe Abbe-Zahl, eines mit hoher Dispersion eine kleine.

Im 19. Jahrhundert hatte sich zunächst die sehr helle und damit leicht aufzufindende Natrium-D-Linie als Referenz für die mittlere Brechung etabliert. Da es sich aber um eine eng beieinander liegende Doppellinie handelt, die Messungenauigkeiten nach sich ziehen konnte, gingen die Glasfabriken und optischen Anstalten in der Zwischenkriegszeit sukzessive auf die ebenfalls gelbe d-Linie des Heliums mit einer Wellenlänge von 587,6 nm über (siehe nebenstehende Tabelle mit den Wellenlängen von einigen dieser Fraunhoferlinien). Nach dem Zweiten Weltkrieg kam man überein, die Hauptfarbe auf die grüne e-Linie des Quecksilbers umzustellen, die mit 546,1 nm auch besser mit der höchsten spektralen Empfindlichkeit des menschlichen Auges übereinstimmt. Diese Umstellung der Hauptfarbe auf e ist jedoch in der Folgezeit nur schleppend und inkonsequent erfolgt, da beispielsweise viele rechnende Optiker noch lange Zeit bei n_d als Referenz für die mittlere Brechung geblieben sind, weshalb bis heute in den Glaskatalogen die Brechzahlen und ny-Werte sowohl für e wie auch für d angegeben sind. Analog dazu muss beachtet werden, dass dann auch für die Hauptdispersion im Nenner der obigen Formel entweder die roten und blauen Linien des Cadmiums, oder aber die des Wasserstoffs maßgeblich sind.

${\displaystyle \nu =\ {\frac {n_{\rm {D}}-1}{n_{\rm {G'}}-n_{\rm {D}}}}}$

Bei optischen Systemen, die für den fotografischen Einsatz geschaffen wurden, war bis zur Einführung panchomatischer Emulsionen die oben angegebene Variation der Abbeschen Zahl üblich, das heißt wegen der fehlenden Rotempfindlichkeit wurde nur die Brechzahldifferenz zwischen gelbem Licht und der Luft ins Verhältnis gesetzt zum Abstand zwischen der Brechzahl bei tiefem Blau und derjenigen bei demselben Gelb. Daher war es üblich, bis ungefähr in die Zeit kurz nach dem Ersten Weltkrieg in Patenten für Fotoobjektive statt der Abbeschen Zahl die Brechzahlen der Glasarten einmal für die D- und einmal für die G'-Linie anzugeben.

Dass sich überhaupt das Bedürfnis zur Einführung einer derartigen Maßzahl für die mittlere Dispersion ergab, lag an der Einführung von Glasarten mit völlig neuen Eigenschaften durch das Jenaer Glaswerk Schott & Gen. in der zweiten Hälfte der 1880er Jahre. Zuvor waren Brechzahl und Farbzerstreuung stets miteinander verkoppelt; stieg das Brechungsvermögen des Glases, so stieg auch zwangsläufig dessen Dispersion. Diese gewohnte Einteilung in Flintglas und Kronglas wurde jedoch mit einem Male hinfällig, als dem rechnenden Optiker endlich die verlangten Glasarten zur Verfügung gestellt wurden, die bei hoher Farbzerstreuung niedrig brachen (vor allem die Barit-Leichtflinte) oder die trotz sehr hoher Brechzahl nur sehr gering dispergierten (die sogenannten Schwerkrone).

Die typischen Werte der Abbe-Zahlen für die am häufigsten verwendeten Glassorten reichen von ca. 25 (Schwerflint) bis 70 (Fluor-Kron). Die Grenze für die Bezeichnung der Gläser als Flint- bzw. Kronglas ist dabei von der Größe der Brechzahl abhängig. Generell werden Glasarten mit einer Abbe-Zahl unterhalb von 50 als „Flinte“ und über 55 als „Krone“ (eingedeutscht aus englisch „Crown“) bezeichnet. Im Übergangsbereich dazwischen liegen die „Kronflinte“, die „Kurzflinte“ sowie die oben bereits genannten „Leichtflinte“. Als aber etwa zu Beginn des 20. Jahrhunderts die sogenannten Schwerst-Krongläser aufkamen, die sich durch eine Brechzahl größer als 1,6 auszeichneten, wurde speziell für diese neue Kategorie als Untergrenze eine Abbezahl von 50 festgelegt (wobei auch das Schott SSK8 mit einem ny von 49,8 noch in diese Kategorie eingruppiert wurde).

Darüber hinaus weisen spezielle Glassorten wie Fluorit-Kronglas Kennzahlen um 85 auf. Calciumfluorid und Gläser der Hersteller Ohara und Hoya erreichen sogar eine Abbe-Zahl von 95, Magnesiumfluorid 106, deren Dispersion ist also besonders gering. Der reziproke Wert der Abbe-Zahl wird auch als relative Dispersion bezeichnet.

Anwendung

Die Abbe-Zahl ist für den Entwurf von Achromaten und Apochromaten von Bedeutung. Dies sind Linsensysteme, bei denen die chromatische Aberration besonders klein ist. So hat beispielsweise ein Achromat aus zwei dünnen Linsen, die einen kleinen Abstand voneinander haben, für die Fraunhoferschen Linien F und C die gleiche Brennweite, wenn

${\displaystyle \nu _{1}\,f_{1}+\nu _{2}\,f_{2}=0}$

ist, wobei ${\displaystyle \nu _{i}}$ die Abbe-Zahl und ${\displaystyle f_{i}}$ die Brennweite der jeweiligen Linse sind. Ein solches Linsensystem bildet blaues und rotes Licht der Wellenlängen 486 nm (F) und 656 nm (C) auf den gleichen Punkt ab. Der verbleibende Farbfehler ist deutlich geringer, als wenn nur eine Glassorte verwendet worden wäre. Achromaten waren die Grundlage für den Bau großer Linsenfernrohre im 19. Jahrhundert.

Der beim Achromaten noch verbleibende Farbfehler (das sogenannte sekundäre Spektrum) äußert sich oft in einem violetten Saum um helle Objekte. Um den Farbfehler noch weiter zu reduzieren, muss der Brechungsindex bei mehr als zwei Wellenlängen berücksichtigt werden, was bei einem Apochromaten bei drei Wellenlängen erreicht wird. Auch hier wird die Abbe-Zahl für einen Teil der Berechnungen genutzt.

Im Bereich von Infrarot und Ultraviolett ist die Abbe-Zahl, die ja für Wellenlängen im Bereich des sichtbaren Lichts definiert ist, ungeeignet.

Literatur

• Gottfried Schröder: Technische Optik. 5. Auflage. Vogel-Buchverlag, Würzburg 1986, ISBN 3-8023-0067-X, Kapitel 2.1.1: Optische Gläser, S. 23. 

Weblinks

Wiktionary: Abbesche Zahl – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen

Einzelnachweise

1. ↑ Balmer-Serie
2. ↑ Bernd Leuschner: Brechungsindex und Abbe-Zahl von Glas (PDF; 147 kB), Labor für Gerätetechnik, Optik und Sensorik, Beuth Hochschule für Technik Berlin.
3. ↑ Vgl. Schott-Katalog "Jenaer Glas für die Optik", 1923, S. 1.
4. ↑ L. D. Pye, V. D. Fréchette, N. J. Kreidl: Borate glasses: structure, properties, applications. Plenum Press, New York 1978, ISBN 0-306-40016-2. 
5. ↑ Vgl. z. B. Schott, Optisches Glas, 2025.
6. 1 2 Vgl. Rohr, Moritz von: Theorie und Geschichte des photographischen Objektivs, 1899, S. 341.
7. ↑ Vgl. z. B. DRP 56.109 vom 3. April 1890 (Zeiss-Anastigmat) und DRP 347.838 vom 17. Juni 1919 (Zeiss Tele-Tessar)
8. 1 2 Vgl. Jenaer Glaswerk SCHOTT & GEN: Jenaer Glas für die Optik, Liste der Eigenschaftswerte, Katalog Nr. 5858, Jena, 1937.
9. ↑ Ludwig Bergmann, Clemens Schaefer: Lehrbuch der Experimentalphysik, Band III: Optik, Kapitel II,3: Die Dispersion des Lichtes: Normale Dispersion, 7. Auflage, Verlag Walter de Gruyter, Berlin / New York, 1978, Seite 207
10. ↑ Glassproperties.com Calculation of Abbe's Number for Glasses