Achteck

Formeln

Mathematische Formeln zum regelmäßigen Achteck
Zentriwinkel	${\displaystyle \alpha ={\frac {360^{\circ }}{8}}=45^{\circ }}$
Innenwinkel	${\displaystyle \delta =180^{\circ }-\alpha =135^{\circ }}$
Inkreisradius	${\displaystyle r_{i}={\frac {1+{\sqrt {2}}}{2}}\cdot a\approx 1{,}207\cdot a}$
Umkreisradius	${\displaystyle r_{u}={\frac {1}{2}}\cdot {\sqrt {4+2{\sqrt {2}}}}\cdot a\approx 1{,}307\cdot a}$
Radiusverhältnis	${\displaystyle {\frac {r_{i}}{r_{u}}}={\frac {1}{2}}{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}\approx 0{,}92388}$
Länge der Diagonalen	${\displaystyle d_{1}=2\cdot r_{\mathrm {u} }={\sqrt {4+2{\sqrt {2}}}}\cdot a\approx 2{,}613\cdot a}$
	${\displaystyle d_{2}=2\cdot r_{\mathrm {i} }=(1+{\sqrt {2}})\cdot a\approx 2{,}414\cdot a}$
	${\displaystyle d_{3}={\sqrt {2}}\cdot r_{\mathrm {u} }={\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}\cdot a\approx 1{,}848\cdot a}$
Flächeninhalt	${\displaystyle A=(2+2\cdot {\sqrt {2}})\cdot a^{2}\approx 4{,}828\cdot a^{2}}$
	${\displaystyle A=2\cdot {\sqrt {2}}\cdot r_{\mathrm {u} }^{2}\approx 2{,}828\cdot r_{\mathrm {u} }^{2}}$

Flächenberechnung

Zerlege das regelmäßige Achteck in 8 gleichschenklige Dreiecke. Der von deren Schenkeln eingeschlossene Winkel beträgt 360°/8 = 45°. Die beiden Basiswinkel des Dreieckes betragen je 67,5°. Die Höhe halbiert das gleichschenklige Dreieck. Es entsteht durch Einzeichnen der Höhe ein rechtwinkliges Dreieck mit den Winkeln 67,5°, 22,5° und 90°. Folgende Lösungsansätze gehen von diesem rechtwinkligen Dreieck aus, dabei gilt:

• ${\displaystyle a}$ ist die Seitenlänge des Achtecks.
• ${\displaystyle a'}$ ist die halbe Seitenlänge des Achtecks.
• ${\displaystyle r_{\mathrm {i} }}$ ist der Radius des Inkreises.
• ${\displaystyle r_{\mathrm {u} }}$ ist der Radius des Umkreises.
• ${\displaystyle A}$ ist der Flächeninhalt des Achtecks.
• ${\displaystyle A'}$ ist der Flächeninhalt des rechtwinkligen Dreiecks.

Gegeben sei der Radius ${\displaystyle r_{\mathrm {i} }}$ des Inkreises:
Der gesuchte Schenkel (Gegenkathete zum spitzen Winkel) lässt sich durch den Tangens von 22,5° ermitteln:

${\displaystyle a'=r_{\mathrm {i} }\cdot \tan 22{,}5^{\circ }}$

Den Flächeninhalt des rechtwinkligen Dreiecks erhält man durch

${\displaystyle A'={\frac {a'\cdot r_{\mathrm {i} }}{2}}={\frac {(r_{\mathrm {i} }\cdot \tan 22{,}5^{\circ })\cdot r_{\mathrm {i} }}{2}}={\frac {r_{\mathrm {i} }^{2}\cdot \tan 22{,}5^{\circ }}{2}}}$

Das gleichschenklige Dreieck hat die doppelte Fläche des rechtwinkligen Dreiecks, das Achteck die achtfache Fläche des gleichschenkligen Dreiecks:

${\displaystyle A=2\cdot 8\cdot A'=16\cdot \left({\frac {r_{\mathrm {i} }^{2}\cdot \tan 22{,}5^{\circ }}{2}}\right)=8\cdot r_{\mathrm {i} }^{2}\cdot \tan 22{,}5^{\circ }}$

Gegeben sei die Seitenlänge ${\displaystyle a}$ des Achtecks:
Analog zur obigen Betrachtung lässt sich der Radius ${\displaystyle r_{\mathrm {i} }}$ des Inkreises mit Hilfe des Tangens von 22,5° ermitteln, ${\displaystyle a'}$ sei die Hälfte von ${\displaystyle a}$:

${\displaystyle r_{\mathrm {i} }={\frac {a'}{\tan 22{,}5^{\circ }}}}$

Die Flächeninhalt des rechtwinkligen Dreiecks erhält man durch

${\displaystyle A'={\frac {a'\cdot r_{\mathrm {i} }}{2}}={\frac {a'^{2}}{2\cdot \tan 22{,}5^{\circ }}}}$

Setzt man ${\displaystyle A'}$ in die Formel für die Gesamtfläche ein, erhält man

${\displaystyle A=8\cdot 2\cdot A'=16\cdot {\frac {a'^{2}}{2\cdot \tan 22{,}5^{\circ }}}={\frac {8\cdot a'^{2}}{\tan 22{,}5^{\circ }}}={\frac {2\cdot a^{2}}{\tan 22{,}5^{\circ }}}}$

Gegeben sei der Radius ${\displaystyle r_{\mathrm {u} }}$ des Umkreises:
Das Verhältnis ${\displaystyle a'}$ zu ${\displaystyle r_{\mathrm {u} }}$ entspricht dem Sinus des spitzen Winkels:

${\displaystyle a'=r_{\mathrm {u} }\cdot \sin 22{,}5^{\circ }}$

Der Radius ${\displaystyle r_{\mathrm {i} }}$ des Inkreises beträgt

${\displaystyle r_{\mathrm {i} }={\frac {a'}{\tan 22{,}5^{\circ }}}={\frac {r_{\mathrm {u} }\cdot \sin 22{,}5^{\circ }}{\tan 22{,}5^{\circ }}}=r_{\mathrm {u} }\cdot \cos 22{,}5^{\circ }}$

Die Flächeninhalt des rechtwinkligen Dreiecks erhält man durch

${\displaystyle A'={\frac {a'\cdot r_{\mathrm {i} }}{2}}={\frac {r_{\mathrm {u} }^{2}\cdot \sin 22{,}5^{\circ }\cdot \cos 22{,}5^{\circ }}{2}}}$

Setzt man ${\displaystyle A'}$ in die Formel für die Gesamtfläche ein, erhält man

${\displaystyle A=8\cdot 2\cdot A'=16\cdot \left({\frac {r_{\mathrm {u} }^{2}\cdot \sin 22{,}5^{\circ }\cdot \cos 22{,}5^{\circ }}{2}}\right)=8\cdot r_{\mathrm {u} }^{2}\cdot \sin 22{,}5^{\circ }\cdot \cos 22{,}5^{\circ }}$

bzw. mit den Additionstheoremen für die Winkelfunktionen

${\displaystyle A=4\cdot r_{\mathrm {u} }^{2}\cdot \sin 45^{\circ }}$

Geometrische Konstruktionen

Bei gegebenem Umkreis

Konstruieren kann man ein regelmäßiges Achteck, indem man bei einem Quadrat die Symmetrieachsen mithilfe der Mittelsenkrechten ${\displaystyle M_{\mathrm {S} }}$ konstruiert und deren Schnittpunkte mit dem Umkreis, mit den Ecken des Quadrats verbindet.

Eine Alternative zeigt die Animation.

Bei gegebener Seitenlänge

Die Konstruktion ist nahezu gleich der des regelmäßigen Sechzehnecks bei gegebener Seitenlänge.

Zuerst werden die beiden Endpunkte der Seitenlänge ${\displaystyle a}$ mit ${\displaystyle A}$ und ${\displaystyle B}$ bezeichnet. Beide sind Eckpunkte des entstehenden Achtecks. Es folgen ein Kreisbogen mit dem Radius ${\displaystyle a}$ um den Punkt ${\displaystyle B}$ und ein zweiter mit gleichem Radius um den Punkt ${\displaystyle A}$, dabei ergeben sich die beiden Schnittpunkte ${\displaystyle I}$ und ${\displaystyle J}$. Es geht weiter mit der Halbgeraden ab ${\displaystyle I}$ durch ${\displaystyle J}$ und dem Zeichnen einer Parallelen zu ${\displaystyle {\overline {IJ}}}$ ab dem Punkt ${\displaystyle B}$, die den Kreisbogen um ${\displaystyle B}$ in ${\displaystyle K}$ schneidet. Nun wird der Punkt ${\displaystyle K}$ mit ${\displaystyle A}$ verbunden, dabei entsteht der Schnittpunkt ${\displaystyle L}$. Anschließend wird die Halbgerade ab ${\displaystyle B}$ durch ${\displaystyle L}$ gezogen, dabei schneidet sie die Halbgerade ab ${\displaystyle I}$ in ${\displaystyle M}$. Somit ist der Mittelpunkt ${\displaystyle M}$ des entstehenden Achtecks bestimmt. Die zweite Halbgerade ab ${\displaystyle A}$ durch ${\displaystyle M}$ führt zum Zentriwinkel ${\displaystyle 45^{\circ }}$. Nach dem Einzeichnen des Umkreises um ${\displaystyle M}$ und durch ${\displaystyle A}$ ergeben sich die Ecken ${\displaystyle C,E,F}$ und ${\displaystyle H}$ des Achtecks. Jetzt die zwei noch fehlende Seitenlängen ${\displaystyle a}$ auf den Umkreis abtragen, sie ergeben die Ecken ${\displaystyle D}$ und ${\displaystyle G}$, und abschließend die benachbarten Ecken zu einem fertigen Achteck miteinander verbinden.

Der Mittelpunktswinkel ${\displaystyle \mu }$ mit der Winkelweite ${\displaystyle 45^{\circ }}$ ergibt sich aus den ähnlichen Dreiecken ${\displaystyle \Delta BLA\sim \Delta ABM:}$

${\displaystyle \mu =\angle {BAL}=\angle {AMB}=45^{\circ }.}$

Parkettierungen mit regelmäßigen Achtecken

Eine bestimmte archimedische Parkettierung enthält regelmäßige Achtecke und Quadrate. Diese Parkettierung ist periodisch, drehsymmetrisch und translationssymmetrisch und enthält ausschließlich regelmäßige Polygone.

• 
  Archimedische Parkettierung mit regelmäßigen Achtecken und Quadraten

Polyeder mit regelmäßigen Achtecken

Einige Polyeder haben regelmäßige Achtecke als Seitenflächen, zum Beispiel der Hexaederstumpf und das Große Rhombenkuboktaeder. Die genannten Polyeder sind archimedische Körper.

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  Hexaederstumpf
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  Großes Rhombenkuboktaeder

Vorkommen

• 
  Oktogon (Architektur)
• 
  Gartentisch
• 
  Café Achteck
• 
  Reichskrone in der Wiener Schatzkammer
• 
  Stoppschild
• 
  Die Acht Trigramme des Chinesischen Yijing