Additivität

Definitionen

Ist ${\displaystyle M}$ eine Halbgruppe mit der Verknüpfung ${\displaystyle +}$, so heißt eine Abbildung ${\displaystyle f\colon M\to \mathbb {R} }$ additiv, wenn sie die Funktionalgleichung

${\displaystyle f(x+y)=f(x)+f(y)}$

erfüllt. Sind Definitions- und Zielbereich abelsche Gruppen, so spricht man auch von ${\displaystyle \mathbb {Z} }$-Linearität.

Die Abbildung heißt subadditiv, wenn für alle ${\displaystyle x}$ und ${\displaystyle y}$ aus ${\displaystyle M}$ gilt:

${\displaystyle f(x+y)\leq f(x)+f(y)}$.

Die Abbildung heißt superadditiv, wenn für alle ${\displaystyle x}$ und ${\displaystyle y}$ aus ${\displaystyle M}$ gilt:

${\displaystyle f(x+y)\geq f(x)+f(y)}$.

Beispiele

• Gemäß der Dreiecksungleichung sind Normen und Beträge stets subadditiv.
• Sublineare Funktionen sind per Definition subadditiv.
• Lineare Abbildungen sind per Definition additiv.

Eigenschaften

• Eine Abbildung ist genau dann additiv, wenn sie sowohl sub- als auch superadditiv ist.
• Ist ${\displaystyle f}$ eine additive Funktion, so gilt für jede endliche Anzahl ${\displaystyle x_{1},\dotsc ,x_{n}}$ von Elementen aus ${\displaystyle M}$:

${\displaystyle f(x_{1}+\dotsb +x_{n})=f(x_{1})+\dotsb +f(x_{n})}$

Entsprechendes gilt für Sub- und Superadditivität.

Endliche Additivität

In der Maßtheorie heißt eine Mengenabbildung ${\displaystyle \mu }$ endlich additiv, wenn für je zwei disjunkte Teilmengen ${\displaystyle A}$ und ${\displaystyle B}$ eines Mengensystems gilt:

${\displaystyle \mu \left(A\cap B\right)=\mu (A)+\mu (B).}$

Diese Bedingung ist gleichbedeutend damit, dass für endlich viele paarweise disjunkte Teilmengen ${\displaystyle A_{1},A_{2},\ldots ,A_{n}}$ gilt:

${\displaystyle \mu \left(\bigcup _{i=1}^{n}A_{i}\right)=\sum _{i=1}^{n}\mu (A_{i}),}$

was gelegentlich auch zur Definition der endlichen Additivität dient.

σ-Additivität

Verlangt man, dass die Additivität nicht nur für endlich viele disjunkte Teilmengen des Mengensystems gilt, sondern sogar für abzählbar viele disjunkte Teilmengen, so heißt die Mengenfunktion σ-additiv („sigma-additiv“) oder abzählbar additiv. Die σ-Additivität einer Mengenfunktion ${\displaystyle \mu }$ bedeutet also, dass für paarweise disjunkte Mengen ${\displaystyle A_{1},A_{2},A_{3},\ldots }$ stets gilt, dass

${\displaystyle \mu \left(\bigcup _{i=1}^{\infty }A_{i}\right)=\sum _{i=1}^{\infty }\mu (A_{i}).}$

Die σ-Additivität enthält die endliche Additivität als Spezialfall und hat eine grundlegende Bedeutung für den modernen axiomatischen Aufbau der Wahrscheinlichkeitstheorie sowie der Maß- und Integrationstheorie.

Subadditivität und Superadditivität

Eine Mengenfunktion ${\displaystyle \mu }$ heißt endlich subadditiv, wenn für je endlich viele Mengen ${\displaystyle A_{1},A_{2},\ldots ,A_{n}}$ gilt:

${\displaystyle \mu \left(\bigcup _{i=1}^{n}A_{i}\right)\leq \sum _{i=1}^{n}\mu (A_{i})}$.

Auf analoge Weise ist die Superadditivität einer Mengenfunktion definiert. Jedoch wird hier wie bei der σ-Additivität verlangt, dass die Mengen ${\displaystyle A_{i}}$ paarweise disjunkt sind. Eine Mengenfunktion ${\displaystyle \mu }$ heißt demnach endlich superadditiv, wenn für je endlich viele paarweise disjunkte Mengen ${\displaystyle A_{1},A_{2},\ldots ,A_{n}}$ gilt:

${\displaystyle \mu \left(\bigcup _{i=1}^{n}A_{i}\right)\geq \sum _{i=1}^{n}\mu (A_{i})}$

und σ-superadditiv, wenn diese Eigenschaft für abzählbare vielen paarweise disjunkte Mengen ${\displaystyle A_{1},A_{2},A_{3},\ldots }$ gilt.