Chow-Gruppe

In der algebraischen Geometrie, einem Teilgebiet der Mathematik, sind Chow-Gruppen eine wichtige Invariante von Varietäten.

Definition

Sei ${\displaystyle X}$ eine glatte, irreduzible, projektive Varietät über einem algebraisch abgeschlossenen Körper.

Die Gruppe der algebraischen Zykel der Kodimension i

${\displaystyle {\mathcal {Z}}^{i}(X)}$

ist definiert als die freie abelsche Gruppe erzeugt von den irreduziblen (nicht notwendig glatten) Untervarietäten ${\displaystyle W\subset X}$ der Kodimension ${\displaystyle i}$. Ein Element ${\displaystyle Z\in {\mathcal {Z}}^{i}(X)}$ ist also eine endliche Summe

${\displaystyle Z=\sum _{\alpha }n_{\alpha }W_{\alpha }}$

mit ${\displaystyle n_{\alpha }\in \mathbb {Z} }$ und ${\displaystyle W_{\alpha }\subset X}$ irreduzible Untervarietät der Kodimension ${\displaystyle i}$.

Zwei Untervarietäten

${\displaystyle Y,Z\subset X}$

heißen rational äquivalent, wenn es eine Untervarietät

${\displaystyle V\subset X\times P^{1}}$, welche flach über ${\displaystyle P^{1}}$ ist,

sowie ${\displaystyle a,b\in P^{1}}$ mit

${\displaystyle pr_{X}(V\cap X\times \left\{a\right\})=Y,pr_{X}(V\cap X\times \left\{b\right\})=Z}$

gibt. Rationale Äquivalenz definiert eine Äquivalenzrelation auf der Zykelgruppe ${\displaystyle {\mathcal {Z}}^{i}(X)}$.

Die Chow-Gruppe ${\displaystyle CH^{i}(X)}$ ist definiert als Quotient der Zykel-Gruppe modulo rationaler Äquivalenz:

${\displaystyle CH^{i}(X)={\mathcal {Z}}^{i}(X)/\sim }$.

Chow-Ring

Das Schnittprodukt ${\displaystyle \times }$ von Untervarietäten (anschaulich: modulo rationaler Äquivalenz bringt man Untervarietäten in allgemeine Lage und nimmt dann ihren Durchschnitt) definiert eine Abbildung

${\displaystyle CH^{i}(X)\otimes CH^{j}(X)\rightarrow CH^{i+j}(X)}$

für alle ${\displaystyle i,j}$. Der Chow-Ring ist die direkte Summe der Chow-Gruppen

${\displaystyle CH(X)=\bigoplus _{i=0}^{\infty }CH^{i}(X)}$

mit der durch das Schnittprodukt definierten Multiplikation.

Mittels des Schnittprodukts ${\displaystyle \times \colon CH^{k}(X)\otimes CH^{l}(X)\to CH^{k+l}(X)}$ definiert man das globale Schnittprodukt ${\displaystyle \cdot \colon CH^{k}(X)\otimes CH^{l}(X)\to CH^{k+l-\dim(X)}(X)}$ durch

${\displaystyle x\cdot y:=\Delta ^{*}(x\times y)}$

für die diagonale Einbettung ${\displaystyle \Delta \colon X\to X\times X}$.

Beispiele

• Für jede glatte, irreduzible Varietät ist

${\displaystyle CH^{0}(X)=\mathbb {Z} }$.

• ${\displaystyle CH^{1}(X)}$ ist die Picardgruppe

${\displaystyle CH^{1}(X)=Pic(X)}$.

• Für den ${\displaystyle n}$-dimensionalen affinen Raum ${\displaystyle A^{n}}$ gilt

${\displaystyle CH^{k}(A^{n})=0}$ für ${\displaystyle k\not =0,n}$,

${\displaystyle CH^{n}(A^{n})=\mathbb {Z} }$.

• Für den ${\displaystyle n}$-dimensionalen projektiven Raum ${\displaystyle P^{n}}$ gilt

${\displaystyle CH^{k}(P^{n})=\mathbb {Z} }$ für ${\displaystyle 0\leq k\leq n+1}$

${\displaystyle CH^{k}(P^{n})=0}$ für ${\displaystyle k>n+1}$

Beziehung zur algebraischen K-Theorie

Sei ${\displaystyle K(X)}$ der Funktionenkörper der Varietät ${\displaystyle X}$ und ${\displaystyle K_{*}^{M}(K(X))}$ die Milnorsche K-Theorie dieses Körpers. Dann ist

${\displaystyle CH^{k}(X)=\operatorname {Kokern} \left(\bigcup _{x\in X_{(p+1)}}K_{1}^{M}(K(X))\to \bigcup _{x\in X_{(p)}}K_{0}^{M}(K(X))\right),}$

wobei ${\displaystyle X_{(p)}}$ die Menge aller Punkte von ${\displaystyle X}$ der Dimension ${\displaystyle p}$ ist.

Literatur

• Wei-Liang Chow: On Equivalence Classes of Cycles in an Algebraic Variety, Annals of Mathematics, Band 64, 1956, S. 450–479, ISSN 0003-486X
• William Fulton: Intersection theory, Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. Folge. A Series of Modern Surveys in Mathematics 2, Berlin, New York: Springer-Verlag 1998, ISBN 978-0-387-98549-7, MR 1644323