Chow-Gruppe

In der algebraischen Geometrie, einem Teilgebiet der Mathematik, sind Chow-Gruppen eine wichtige Invariante von Varietäten.

Definition

Sei $X$ eine glatte, irreduzible, projektive Varietät über einem algebraisch abgeschlossenen Körper.

Die Gruppe der algebraischen Zykel der Kodimension i

𝒵^{i} (X)

ist definiert als die freie abelsche Gruppe erzeugt von den irreduziblen (nicht notwendig glatten) Untervarietäten $W \subset X$ der Kodimension $i$ . Ein Element $Z \in 𝒵^{i} (X)$ ist also eine endliche Summe

Z = \sum_{α} n_{α} W_{α}

mit $n_{α} \in ℤ$ und $W_{α} \subset X$ irreduzible Untervarietät der Kodimension $i$ .

Zwei Untervarietäten

Y, Z \subset X

heißen rational äquivalent, wenn es eine Untervarietät

V \subset X \times P^{1}

, welche flach über

P^{1}

ist,

sowie $a, b \in P^{1}$ mit

p r_{X} (V \cap X \times {a}) = Y, p r_{X} (V \cap X \times {b}) = Z

gibt. Rationale Äquivalenz definiert eine Äquivalenzrelation auf der Zykelgruppe $𝒵^{i} (X)$ .

Die Chow-Gruppe $C H^{i} (X)$ ist definiert als Quotient der Zykel-Gruppe modulo rationaler Äquivalenz:

C H^{i} (X) = 𝒵^{i} (X) / \sim

.

Chow-Ring

Das Schnittprodukt $\times$ von Untervarietäten (anschaulich: modulo rationaler Äquivalenz bringt man Untervarietäten in allgemeine Lage und nimmt dann ihren Durchschnitt) definiert eine Abbildung

C H^{i} (X) \otimes C H^{j} (X) \to C H^{i + j} (X)

für alle $i, j$ . Der Chow-Ring ist die direkte Summe der Chow-Gruppen

C H (X) = ⨁_{i = 0}^{\infty} C H^{i} (X)

mit der durch das Schnittprodukt definierten Multiplikation.

Mittels des Schnittprodukts $\times : C H^{k} (X) \otimes C H^{l} (X) \to C H^{k + l} (X)$ definiert man das globale Schnittprodukt $\cdot : C H^{k} (X) \otimes C H^{l} (X) \to C H^{k + l - \dim (X)} (X)$ durch

x \cdot y := Δ^{*} (x \times y)

für die diagonale Einbettung $Δ : X \to X \times X$ .

Beispiele

Für jede glatte, irreduzible Varietät ist

C H^{0} (X) = ℤ

.

$C H^{1} (X)$ ist die Picardgruppe

C H^{1} (X) = P i c (X)

.

Für den $n$ -dimensionalen affinen Raum $A^{n}$ gilt

C H^{k} (A^{n}) = 0

für

k ≠ 0, n

,

C H^{n} (A^{n}) = ℤ

.

Für den $n$ -dimensionalen projektiven Raum $P^{n}$ gilt

C H^{k} (P^{n}) = ℤ

für

0 \leq k \leq n + 1

C H^{k} (P^{n}) = 0

für

k > n + 1

Beziehung zur algebraischen K-Theorie

Sei $K (X)$ der Funktionenkörper der Varietät $X$ und $K_{*}^{M} (K (X))$ die Milnorsche K-Theorie dieses Körpers. Dann ist

C H^{k} (X) = Kokern (⋃_{x \in X_{(p + 1)}} K_{1}^{M} (K (X)) \to ⋃_{x \in X_{(p)}} K_{0}^{M} (K (X))),

wobei $X_{(p)}$ die Menge aller Punkte von $X$ der Dimension $p$ ist.

Literatur

Wei-Liang Chow: On Equivalence Classes of Cycles in an Algebraic Variety, Annals of Mathematics, Band 64, 1956, S. 450–479, ISSN 0003-486X
William Fulton: Intersection theory, Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. Folge. A Series of Modern Surveys in Mathematics 2, Berlin, New York: Springer-Verlag 1998, ISBN 978-0-387-98549-7, MR 1644323