Alpha-Beta-Filter

Ein Alpha-Beta-Filter (auch f-g-Filter oder g-h-Filter) ist ein Beobachter zur Schätzung und Glättung von Größen, welcher mit dem Kalman-Filter verwandt ist. Anwendung findet der Alpha-Beta-Filter zum Beispiel in Radartrackern.

Formeln

Der Alpha-Beta-Filter kann auf Systeme angewandt werden, bei denen eine Größe $𝐱$ (zum Beispiel eine Position) aus einer anderen Größe $𝐯$ (zum Beispiel die Geschwindigkeit) durch Integration hervorgeht.

Ausgehend von der vorherigen (eventuell initialen) Schätzung der Größen ${\hat{𝐱}}_{k - 1}, {\hat{𝐯}}_{k - 1}$ zum Zeitpunkt $k - 1$ , erhält man den prädizierten Wert für die Größe durch die Formel

(1) {\hat{𝐱}}_{k} \leftarrow {\hat{𝐱}}_{k - 1} + Δ T {\hat{𝐯}}_{k - 1}

,

wobei $Δ T$ die Zeitdifferenz zwischen den beiden Zeitpunkten ist.

Falls das System nicht getrieben ist, bleibt die Schätzung der Größe $𝐯$ erhalten: $(2) {\hat{𝐯}}_{k} \leftarrow {\hat{𝐯}}_{k - 1}$ . Ansonsten sind in dieser Formel Anpassungen möglich.

Das Residuum zwischen dem neuen Messwert und dem vorhergesagten Wert zur Zeit $k$ ist

(3) {\hat{𝐫}}_{k} \leftarrow 𝐱_{k} - {\hat{𝐱}}_{k}

Mithilfe der Alpha- und Beta-Werte wird die Schätzung der beiden Größen aktualisiert.

(4) {\hat{𝐱}}_{k} \leftarrow {\hat{𝐱}}_{k} + (α) {\hat{𝐫}}_{k}

(5) {\hat{𝐯}}_{k} \leftarrow {\hat{𝐯}}_{k} + (β / [Δ T]) {\hat{𝐫}}_{k}

,

hierbei sind $α$ und $β$ zu wählen.

Für die Konvergenz und Stabilität sollten alpha und beta kleine positive Zahlen sein:

0 < α < 1

0 < β \leq 2

0 < 4 - 2 α - β

Siehe auch

Gleitender Mittelwert#Exponentiell gewichteter geglätteter Durchschnitt

Einzelnachweise

↑ David Lee Hall, Sonya A. H. McMullen: Mathematical Techniques in Multisensor Data Fusion. Artech House, 2004, ISBN 978-1-58053-335-5 (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche [abgerufen am 1. Juli 2020]).
↑ C. Frank Asquith: Weight selection in first-order linear filters. Technical report. Army Inertial Guidance and Control Laboratory Center, Redstone Arsenal, Alabama, 1969. doi:10.21236/ad0859332

[1] David Lee Hall, Sonya A. H. McMullen: Mathematical Techniques in Multisensor Data Fusion. Artech House, 2004, ISBN 978-1-58053-335-5 (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche [abgerufen am 1. Juli 2020]).

[2] C. Frank Asquith: Weight selection in first-order linear filters. Technical report. Army Inertial Guidance and Control Laboratory Center, Redstone Arsenal, Alabama, 1969. doi:10.21236/ad0859332