Multilinearform

Eine $p$ -Multilinearform $ω$ ist in der Mathematik eine Funktion, die $p$ Argumenten $v_{i} \in V_{i}, i \in {1, \dots, p}$ aus $K$ -Vektorräumen $V_{1}, \dots, V_{p}$ einen Wert $ω (v_{1}, \dots, v_{p}) \in K$ zuordnet und in jeder Komponente linear ist. Im allgemeineren Fall, dass der Bildraum selbst ein Vektorraum ist, oder Bild- und Zielräume Moduln sind, spricht man von einer multilinearen Abbildung.

Definition

Eine Abbildung

\begin{matrix} ω : V_{1} \times \dots \times V_{p} & \to K \\ (v_{1}, \dots, v_{p}) & \mapsto ω (v_{1}, \dots, v_{p}) \end{matrix}

heißt Multilinearform, wenn für alle $v_{j} \in V_{j}, j \in {1, \dots, p}$ und alle $i \in {1, \dots, p}$ folgende zwei Bedingungen erfüllt sind:

Für alle $λ \in K$ gilt

ω (v_{1}, \dots, λ v_{i}, \dots, v_{p}) = λ ω (v_{1}, \dots, v_{i}, \dots, v_{p})

und für alle $w \in V_{i}$

ω (v_{1}, \dots, v_{i} + w, \dots, v_{p}) = ω (v_{1}, \dots, v_{i}, \dots, v_{p}) + ω (v_{1}, \dots, w, \dots, v_{p})

.

Die Menge aller multilinearen Abbildungen $𝒥^{p} (V_{1}, \dots, V_{p})$ bildet einen $K$ -Vektorraum. Im Fall $V_{1} = \dots = V_{p} = : V$ schreibt man $𝒥^{p} (V) := 𝒥^{p} (V, \dots, V)$ .

Alternierende Multilinearformen

Eine Multilinearform $ω \in 𝒥^{p} (V)$ heißt alternierend, falls sie null ergibt, wenn zweimal derselbe Vektor eingesetzt wird, d. h.

ω (\dots, v, \dots, v, \dots) = 0

für alle $v \in V$ .

In diesem Fall folgt auch, dass die Form schiefsymmetrisch ist, das heißt, dass sie bei Vertauschung von zwei beliebigen Argumenten ihr Vorzeichen wechselt, also

ω (v_{1}, \dots, v_{i}, \dots, v_{j}, \dots, v_{p}) = - ω (v_{1}, \dots, v_{j}, \dots, v_{i}, \dots, v_{p})

für alle $v_{k} \in V, k \in {1, \dots, p}$ und $i, j \in {1, \dots, p}, i \neq j$ . Die umgekehrte Implikation – dass alle schiefsymmetrischen Multilinearformen alternierend sind – gilt aber nur, wenn die Charakteristik von $K$ nicht 2 ist, also zum Beispiel für $K = ℝ$ .

Ist allgemeiner $π \in S_{p}$ eine beliebige Permutation der Indizes, dann gilt

ω (v_{π (1)}, \dots, v_{π (p)}) = sgn (π) \cdot ω (v_{1}, \dots, v_{p})

,

wobei $sgn (π)$ das Signum der Permutation bezeichnet.

Die Menge aller alternierenden Multilinearformen $Ω^{p} (V)$ ist ein Untervektorraum von $𝒥^{p} (V)$ . Wichtig ist der Spezialfall $p = \dim V$ . Dann ist $Ω^{p} (V)$ ein eindimensionaler Unterraum von $𝒥^{p} (V)$ , und seine Elemente heißen Determinantenfunktionen.

Auf dem durch alle $Ω^{p} (V), p = 0, 1, 2, \dots$ erzeugten Vektorraum lässt sich die Struktur einer Algebra definieren. Diese Algebra heißt Graßmann-Algebra.

Beispiele

Linearformen sind genau die 1-Multilinearformen.
Bilinearformen sind genau die 2-Multilinearformen. Antisymmetrische Bilinearformen sind alternierende Multilinearformen (wenn die Charakteristik von $K$ nicht 2 ist).
Bildet man aus $n$ Vektoren durch Zusammenfassen eine quadratische Matrix, so ist die Determinante dieser Matrix eine alternierende, normierte Multilinearform. Im dreidimensionalen Fall ist also $ω$ definiert durch
$ω (v_{1}, v_{2}, v_{3}) := det (\begin{matrix} v_{1 x} & v_{2 x} & v_{3 x} \\ v_{1 y} & v_{2 y} & v_{3 y} \\ v_{1 z} & v_{2 z} & v_{3 z} \end{matrix})$
eine alternierende 3-Multilinearform. Dabei sind die Vektoren $v_{1}, v_{2}, v_{3}$ folgendermaßen in Koordinaten dargestellt:
$v_{1} = (\begin{matrix} v_{1 x} \\ v_{1 y} \\ v_{1 z} \end{matrix}), v_{2} = (\begin{matrix} v_{2 x} \\ v_{2 y} \\ v_{2 z} \end{matrix}), v_{3} = (\begin{matrix} v_{3 x} \\ v_{3 y} \\ v_{3 z} \end{matrix})$ .
Kovariante Tensoren sind Multilinearformen: In dem Fall, dass alle Vektorräume $V_{i}$ identisch sind (also $V_{i} = V$ ), ist die $p$ -Multilinearform auch ein kovarianter Tensor $p$ -ter Stufe. Im selben Fall sind die alternierenden $p$ -Multilinearformen auch total antisymmetrische Tensoren $p$ -ter Stufe.
Eine Differentialform ordnet einem Punkt einer Mannigfaltigkeit eine alternierende Multilinearform auf dem zugehörigen Tangentialraum zu.

Literatur

Gerd Fischer: Lineare Algebra. Vieweg-Verlag, ISBN 3-528-03217-0.
Hans-Joachim Kowalsky, Gerhard O. Michler: Lineare Algebra. De Gruyter, Berlin 2003, ISBN 978-3-11-017963-7.

Einzelnachweise

1 2 Arkady L'vovich Onishchik: Multilinear mapping. In: Michiel Hazewinkel (Hrsg.): Encyclopedia of Mathematics. Springer-Verlag und EMS Press, Berlin 2002, ISBN 1-55608-010-7 (englisch, encyclopediaofmath.org).

[eom-1] 1 2 Arkady L'vovich Onishchik: Multilinear mapping. In: Michiel Hazewinkel (Hrsg.): Encyclopedia of Mathematics. Springer-Verlag und EMS Press, Berlin 2002, ISBN 1-55608-010-7 (englisch, encyclopediaofmath.org).