Arkussekans und Arkuskosekans

Arkussekans und Arkuskosekans sind zyklometrische Funktionen. Sie sind die Umkehrfunktionen der Sekansfunktion bzw. der Kosekansfunktion und damit Arkusfunktionen. Da die Sekans- und die Kosekansfunktion periodisch sind, wird zur Umkehrung der Definitionsbereich von Sekans auf ${\displaystyle \lbrack 0\,,\,\pi \rbrack }$, und der Definitionsbereich von Kosekans auf ${\displaystyle \lbrack -{\pi /2},\,\pi /2\rbrack }$ beschränkt. Der Arkussekans wird mit ${\displaystyle \operatorname {arcsec} \,(x)}$ bezeichnet und der Arkuskosekans mit ${\displaystyle \operatorname {arccsc} \,(x)}$. Seltener, vor allem aber im Englischen verwendet man auch die Schreibweisen ${\displaystyle \sec ^{-1}(x)}$ und ${\displaystyle \csc ^{-1}}$; sie bedeuten aber nicht, dass ${\displaystyle \operatorname {arcsec} }$ bzw. ${\displaystyle \operatorname {arccsc} }$ die Kehrwerte von ${\displaystyle \sec }$ und ${\displaystyle \csc }$ sind.

Eigenschaften

	Arkussekans	Arkuskosekans
Funktions- Graphen
Definitionsbereich	${\displaystyle -\infty <x\leq -1\,,\,1\leq x<+\infty }$	${\displaystyle -\infty <x\leq -1\,,\,1\leq x<+\infty }$
Wertebereich	${\displaystyle 0\leq f(x)\leq \pi }$	${\displaystyle -{\frac {\pi }{2}}\leq f(x)\leq {\frac {\pi }{2}}}$
Monotonie	In beiden Abschnitten jeweils streng monoton steigend	In beiden Abschnitten jeweils streng monoton fallend
Symmetrien	Punktsymmetrie zum Punkt ${\displaystyle x=0,y={\frac {\pi }{2}}}$	Ungerade Funktion ${\displaystyle \operatorname {arccsc} (x)=-\operatorname {arccsc} (-x)}$
Asymptoten	${\displaystyle f(x)\to {\frac {\pi }{2}}}$ für ${\displaystyle x\to \pm \infty }$	${\displaystyle f(x)\to 0}$ für ${\displaystyle x\to \pm \infty }$
Nullstellen	${\displaystyle x=1}$	keine
Sprungstellen	keine	keine
Polstellen	keine	keine
Extrema	Minimum bei ${\displaystyle \left(1|0\right)}$, Maximum bei ${\displaystyle \left(-1|\pi \right)}$	Minimum bei ${\displaystyle \left(-1\left|-{\frac {\pi }{2}}\right.\right)}$, Maximum bei ${\displaystyle \left(1\left|{\frac {\pi }{2}}\right.\right)}$
Wendepunkte	keine	keine

Reihenentwicklungen

Die Reihenentwicklungen von Arkussekans und Arkuskosekans sind:

${\displaystyle \operatorname {arcsec}(x)={\frac {\pi }{2}}-\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(2k-1)!!x^{-(2k+1)}}{(2k)!!\cdot (2k+1)}}\approx {\frac {\pi }{2}}-x^{-1}-{\frac {1}{6}}x^{-3}-{\frac {3}{40}}x^{-5}}$

${\displaystyle \operatorname {arccsc}(x)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(2k-1)!!x^{-(2k+1)}}{(2k)!!\cdot (2k+1)}}={\frac {1}{x}}\;+\;{\frac {1}{2\cdot 3x^{3}}}\;+\;{\frac {3}{2\!\cdot \!4\cdot 5x^{5}}}\;+\;{\frac {3\!\cdot \!5}{2\!\cdot \!4\!\cdot \!6\cdot 7x^{7}}}\;+\;\ldots }$

Integraldarstellungen

Für den Arkussekans und Arkuskosekans existieren folgende Integraldarstellungen:

${\displaystyle \operatorname {arcsec}(x)=\int \limits _{1}^{x}{\frac {\mathrm {d} t}{t{\sqrt {t^{2}-1}}}}}$

${\displaystyle \operatorname {arccsc}(x)=\int \limits _{x}^{\infty }{\frac {\mathrm {d} t}{t{\sqrt {t^{2}-1}}}}}$

Ableitungen

Die Ableitungen sind gegeben durch:

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\operatorname {arcsec} (x)={\frac {1}{|x|{\sqrt {x^{2}-1}}}}}$

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\operatorname {arccsc} (x)=-{\frac {1}{|x|{\sqrt {x^{2}-1}}}}}$

Integrale

${\displaystyle \int \operatorname {arcsec} (x)\,\mathrm {d} x=x\cdot \operatorname {arcsec} (x)-\operatorname {sgn}(x)\cdot \ln \left(\left|x+{\sqrt {x^{2}-1}}\right|\right)+C=x\cdot \operatorname {arcsec} (x)-\operatorname {arcosh} (|x|)+C}$

${\displaystyle \int \operatorname {arccsc} (x)\,\mathrm {d} x=x\cdot \operatorname {arccsc} (x)+\operatorname {sgn}(x)\cdot \ln \left(\left|x+{\sqrt {x^{2}-1}}\right|\right)+C=x\cdot \operatorname {arccsc} (x)+\operatorname {arcosh} (|x|)+C}$

Umrechnung und Beziehungen zu anderen zyklometrischen Funktionen

${\displaystyle \operatorname {arcsec} (x)=\arccos \left({\frac {1}{x}}\right)}$

${\displaystyle \operatorname {arccsc} (x)=\arcsin \left({\frac {1}{x}}\right)}$

Siehe auch

• Formelsammlung Trigonometrie
• Trigonometrische Funktionen

Weblinks

• Eric W. Weisstein: Inverse Secant und Inverse Cosecant auf MathWorld