Astroide

Die Astroide (auch Sternkurve genannt) ist eine ebene Kurve, die sich mit einem Parameter $t \in [0, 2 π]$ durch die Parametergleichungen

x = a (\cos t)^{3}

y = a (\sin t)^{3}

oder durch die implizite Gleichung

x^{\frac{2}{3}} + y^{\frac{2}{3}} = a^{\frac{2}{3}}

, welche äquivalent zu

(x^{2} + y^{2} - a^{2})^{3} + 27 a^{2} x^{2} y^{2} = 0

ist,

beschreiben lässt. $a$ ist dabei eine feste positive, reelle Zahl. Sie ist die Kurve, die ein Punkt auf einem Kreis mit Radius $\frac{1}{4} a$ beschreibt, der innen auf einem Kreis mit Radius $a$ abrollt. Sie ist also eine spezielle Hypozykloide.

Für ihren Flächeninhalt $A$ gilt

A = \frac{3}{8} π a^{2}

.

Die Länge $ℓ$ der gesamten Kurve beträgt $ℓ = 6 a$ . Innerhalb eines Kurvenviertels $0 \leq t \leq \frac{π}{2}$ gilt für die Bogenlänge

s (t) = \frac{3}{2} a \sin^{2} (t)

und für den Krümmungsradius

ρ (t) = \frac{3}{2} a \sin (2 t)

.

Die Astroide ähnelt auch dem Karo auf gewöhnlichen Spielkarten.

Schwerpunkt

Schwerpunkte der Astroiden
	Intervall	$x_{S}$	$y_{S}$
Ebenes Kurvenstück	0 ≤ t ≤ $\frac{π}{2}$	$\frac{2}{5} a$	$\frac{2}{5} a$
	0 ≤ t ≤ $π$	0	$\frac{2}{5} a$
Ebene Figur	0 ≤ t ≤ $\frac{π}{2}$	$\frac{256}{315 π} a$	$\frac{256}{315 π} a$
	0 ≤ t ≤ $π$	0	$\frac{256}{315 π} a$
Drehkörper*	0 ≤ t ≤ $\frac{π}{2}$	$\frac{21}{128} a$	0

*Bei Rotation um die X-Achse $(z_{S} = 0)$

Schiefe Astroide

Eine Verallgemeinerung ist die schiefe Astroide, die sich durch die Parametergleichungen

x = a (\cos t)^{3}

y = b (\sin t)^{3}

oder durch die implizite Gleichung

{(\frac{x}{a})}^{\frac{2}{3}} + {(\frac{y}{b})}^{\frac{2}{3}} = 1

beschreiben lässt. Die Evolute einer Ellipse ist ebenfalls eine schiefe Astroide.

Siehe auch

orthoptische Kurve einer Astroide

Einzelnachweise

1 2 3 4 Ilʹja N. Bronštejn: Taschenbuch der Mathematik. 11., aktualisierte Auflage. Haan-Gruiten 2020, ISBN 978-3-8085-5792-1, S. 105.

Weblinks

Commons: Astroid – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien

Wiktionary: Astroide – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen

Eric W. Weisstein: Astroid. In: MathWorld (englisch).
Astroide bei 2dcurves.com (englisch)
Stoner-Wohlfarth Astroiden Applet (Physik). (englisch)

[Bronstein-105-1] 1 2 3 4 Ilʹja N. Bronštejn: Taschenbuch der Mathematik. 11., aktualisierte Auflage. Haan-Gruiten 2020, ISBN 978-3-8085-5792-1, S. 105.