Danzel war ein Sohn des Hamburger Arztes Friedrich Danzel (1792–1847) und seiner Ehefrau Anna Catharina Westphalen (1786–1849). Der Philosoph Theodor Wilhelm Danzel (1818–1850) war sein älterer Bruder. Der Jurist Theodor Wilhelm Danzel (1854–1902) war sein Sohn.
Nach seinem Studium ließ sich Danzel als Arzt und Chirurg in Hamburg nieder. Nach dem Tod seines Vaters im Jahr 1847 übernahm er dessen Praxis und führte diese, neben seinen weiteren Tätigkeiten, bis zum Jahr 1885 fort. Als Armenarzt wurde ihm während der Choleraepidemie der Jahre 1848 bis 1850 ein umfangreicher Wirkungskreis zuteil. Danzel hatte auch das Amt des Arztes des Weiblichen Krankenvereins von 1849 inne. Im Jahr 1864 wurde er an das Hamburger Marienkrankenhaus berufen und stieg dort zum Chefarzt und Leiter des Krankenhauses auf. Während des Deutsch-Französischen Krieges war er leitender Arzt eines Baracken-Lazaretts in seiner Heimatstadt.
Danzel war Mitbegründer der 1872 in Berlin gegründeten Deutschen Gesellschaft für Chirurgie, Mitbegründer und Vorstandsmitglied des Hamburger Vereins der Kaiser-Wilhelm-Stiftung, Mitglied und Vizepräses des Ärztlichen Vereins in Hamburg, Mitglied des Vereins zur Pflege im Felde verwundeter und erkrankter Krieger, einem Vorgängerverein des DRK Landesverbandes Hamburg e.V., sowie korrespondierendes Mitglied der k. u. k. Gesellschaft der Ärzte in Wien. Zusammen mit Erich Martini war Danzel einführender Vertreter der chirurgischen Sektion der Gesellschaft Deutscher Naturforscher und Ärzte, in welcher Danzel 1876 als zweiter Geschäftsführer präsidierte. Er war auch Mitbegründer und Mitherausgeber der Deutschen Zeitschrift für Chirurgie.
August Danzel wurde in der Familiengrabstätte auf dem Friedhof Ohlsdorf beigesetzt. Sie liegt nordöstlich von Kapelle 4 im Planquadrat J 11.
Rectum scirrhosum exstirpandum est. Dissertatio inauguralis medica. Dieterichsche Buchhandlung, Göttingen 1844, OCLC163019931 (Digitalisat auf den Seiten der Bayerischen Staatsbibliothek[abgerufen am 17.April 2015]).
Kritische Bemerkungen, angeregt durch Dr. Joseph Dietl’s anatomische Klinik der Gehirnkrankheiten. In: Georg Philipp Holscher (Hrsg.): Hannoversche Annalen für die gesammte Heilkunde. Eine Zeitschrift. Neue Folge. Siebenter Jahrgang. (Ganze Folge zwölfter Jahrgang.) Zweites Heft. März und April. Hahn’sche Hof-Buchhandlung, Hannover 1847, OCLC869882004, S.197–231 (Digitalisat auf den Seiten der Bayerischen Staatsbibliothek [abgerufen am 17.April 2015]).
Kritische Bemerkungen über 29 künstliche Afterbildungen, angeregt durch die Ausführung einer ähnlichen Operation bei einem 4 Tage alten Kinde. In: Heinrich Haeser (Hrsg.): Archiv für die gesammte Medicin. Band9. Friedrich Mauke, Jena 1847, OCLC894899893, S.284–320 (Digitalisat auf den Seiten der Bayerischen Staatsbibliothek [abgerufen am 17.April 2015]).
Ueber die Amputation des Fusses in der Continuität der fünf Metatarsalknochen. In: Heinrich Haeser (Hrsg.): Archiv für die gesammte Medicin. Band10. Friedrich Mauke, Jena 1849, OCLC894899893, S.351–360 (Digitalisat auf den Seiten der Bayerischen Staatsbibliothek [abgerufen am 17.April 2015]).
Der Bruchschnitt ohne Eröffnung des Sackes. In: Jenaische Annalen für Physiologie und Medicin. Band2. Friedrich Mauke, Jena 1851, OCLC895004029, S.254–266 (Digitalisat auf den Seiten der Bayerischen Staatsbibliothek [abgerufen am 17.April 2015]).
Die Bruchoperation ohne Eröffnung des Sackes. In: Jenaische Annalen für Physiologie und Medicin. Band2. Friedrich Mauke, Jena 1851, OCLC895004029, S.369–372 (Digitalisat auf den Seiten der Bayerischen Staatsbibliothek [abgerufen am 17.April 2015]).
Herniologische Studien. Mit besonderer Rücksicht auf die eingeklemmten Brüche. Georg H. Wigand, Göttingen 1854, OCLC793621559 (Textarchiv– Internet Archive[abgerufen am 17.April 2015]).
Herniologische Studien. Zweites Heft. Mit einer anatomischen Zeichnung und zwei Bruchtabellen. Georg H. Wigand, Göttingen 1855, OCLC180137411 (Digitalisat bei Google Books[abgerufen am 17.April 2015]).
Chirurgische Erfahrungen. Erstes Heft. Mit einer Zeichnung. Georg H. Wigand, Göttingen 1857, OCLC239264347 (Digitalisat auf den Seiten der Bayerischen Staatsbibliothek [abgerufen am 17.April 2015]).
Bemerkungen zur Osteotomie der Röhrenknochen. Ein Vortrag, gehalten im ärztlichen Verein zu Hamburg. In: Bernhard von Langenbeck (Hrsg.): Archiv für klinische Chirurgie. Band1. August Hirschwald, Berlin 1861, OCLC1481968, S.235–250 (Textarchiv– Internet Archive[abgerufen am 17.April 2015]).
Ein Beitrag zur Exstirpation grosser Halstumoren. In: Bernhard von Langenbeck (Hrsg.): Archiv für klinische Chirurgie. Band7. August Hirschwald, Berlin 1866, OCLC1481968, S.887–890 (Digitalisat auf den Seiten der Bayerischen Staatsbibliothek [abgerufen am 17.April 2015]).
Zur operativen Casuistik. In: Bernhard von Langenbeck (Hrsg.): Archiv für klinische Chirurgie. Band7. August Hirschwald, Berlin 1866, OCLC1481968, S.890–891 (Digitalisat auf den Seiten der Bayerischen Staatsbibliothek [abgerufen am 17.April 2015]).
Zur Ovariotomie. In: Bernhard von Langenbeck (Hrsg.): Archiv für klinische Chirurgie. Band9, Erstes Heft. August Hirschwald, Berlin 1868, OCLC1481968, S.244–250 (Digitalisat auf den Seiten der Bayerischen Staatsbibliothek [abgerufen am 17.April 2015]).
Pro domo. In: Bernhard von Langenbeck (Hrsg.): Archiv für klinische Chirurgie. Band9, Zweites Heft. August Hirschwald, Berlin 1868, OCLC1481968, S.541–545 (Digitalisat auf den Seiten der Bayerischen Staatsbibliothek [abgerufen am 17.April 2015]).
Pachydermatocele. In: Deutsche Zeitschrift für Chirurgie. Band2, Erstes Heft. F. C. W. Vogel, Leipzig 29.November 1872, OCLC1566469, S.95–100 (Digitalisat auf den Seiten der Bayerischen Staatsbibliothek [abgerufen am 17.April 2015]).
Diaphysen-Resection bei Pseudarthrosis. In: Deutsche Zeitschrift für Chirurgie. Band4, Zweites und drittes (Doppel-) Heft. F. C. W. Vogel, Leipzig 17.April 1874, OCLC1566469, S.277–280 (Digitalisat auf den Seiten der Bayerischen Staatsbibliothek [abgerufen am 17.April 2015]).
Geschwulst mit Haaren im Rectum. In: Bernhard von Langenbeck (Hrsg.): Archiv für klinische Chirurgie. Band17. August Hirschwald, Berlin 1874, OCLC1481968, S.442–448 (Digitalisat auf den Seiten der Bayerischen Staatsbibliothek [abgerufen am 17.April 2015]).
Carl Lauenstein:Dr. August Friedrich Danzel, ein Nekrolog. In: Deutsche Zeitschrift für Chirurgie. Band29. F. C. W. Vogel, Leipzig 1889, OCLC1566469, S.617–622 (Textarchiv– Internet Archive[abgerufen am 17.April 2015]).