Bachet-Methode

Die Bachet-Methode ist ein Verfahren zur Erzeugung magischer Quadrate ungerader Ordnung. Es stammt von dem französischen Mathematiker Claude Gaspard Bachet de Méziriac.

Verfahren

• In einem leeren Quadrat ungerader Ordnung ${\displaystyle n}$ mit ${\displaystyle n^{2}}$ Feldern wird an jeder Quadratseite außen eine dreieckige Anordnung von Feldern angefügt.
• Die natürlichen Zahlen von ${\displaystyle 1}$ bis ${\displaystyle n^{2}}$ werden von oben beginnend der Reihe nach in Gruppen von je ${\displaystyle n}$ Feldern diagonal nach rechts unten in die leeren Felder so eingetragen, dass eine auf der Spitze stehende n-reihige Zahlenanordnung entsteht, bei der jedes zweite Feld in waagerechter bzw. senkrechter Richtung ungenutzt bleibt.
• Die an den Quadratseiten außen angefügten dreieckförmigen Zahlenfelder werden jeweils auf die im Quadrat gegenüberliegenden dreieckförmigen ungenutzten Lückenfelder parallel verschoben.
• Auf diese Weise ist ein fünfreihiges normales magisches Quadrat entstanden.

Eigenschaften

• Das mittlere Feld des magischen Quadrats ist mit der Zahl ${\displaystyle z={\tfrac {n^{2}+1}{2}}}$ belegt. Alle zu dieser Zahl symmetrischen Felder haben die Summe ${\displaystyle n^{2}+1}$.
• Aus den Zahlen ${\displaystyle 1}$ bis ${\displaystyle n^{2}}$ lassen sich Paare mit jeweils identischer Summe bilden. Verbindet man jedes dieser Zahlenpaare durch eine gerade Linie, so entsteht ein sternförmiges mehrfach punkt- und achsensymmetrisches Muster.

Beispiel

Die nachfolgende Darstellung verdeutlicht die Entstehung eines fünfreihigen magischen Quadrats nach der Bachet-Methode und zeigt das Symmetriemuster der Übersichtlichkeit halber in zwei Bildern.

Das mittlere Feld des Quadrats ist mit der Zahl ${\displaystyle {\tfrac {5^{2}+1}{2}}=13}$ belegt. Alle zu dieser Zahl symmetrischen Felder haben die Summe ${\displaystyle 5^{2}+1=26}$. Aus den Zahlen ${\displaystyle 1}$ bis ${\displaystyle 25}$ lassen sich genau zwölf Paare mit jeweils identischer Summe ${\displaystyle 26}$ bilden.

Weblinks

Commons: Magisches Quadrat – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien

• Heinz-Klaus Strick: Claude Gaspar Bachet de Méziriac (1581–1638) Mathematischer Monatskalender vom 1. Oktober 2021 auf spektrum.de, abgerufen am 16. September 2022
• Hans Walser: Magische Symmetrie auf walser-h-m.ch, abgerufen am 16. September 2022

Einzelnachweise

1. ↑ Ungerade Magische Quadrate auf hp-gramatke.de, abgerufen am 16. September 2022
2. ↑ Symmetrische magische Quadrate ungerader Ordnung auf magic-squares.info, abgerufen am 16. September 2022