Bahnformel

Die Bahnformel ist ein mathematischer Satz aus der Gruppentheorie. Sie wird oft kurz einprägsam zusammengefasst als: „Die Länge der Bahn ist der Index des Stabilisators.“

Der Bahnensatz

Formulierung

Sei $(G, \cdot)$ eine Gruppe und $\circ : G \times M \to M$ eine Operation von $G$ auf einer Menge $M$ . Dann ist für jedes $x \in M$ die Abbildung

\begin{matrix} G / G_{x} & \to G \circ x \\ g \cdot G_{x} & \mapsto g \circ x \end{matrix}

eine wohldefinierte Bijektion. Dabei bezeichnet

$G \circ x := {g \circ x | g \in G} \subseteq M$ die Bahn von $x$ ,
$G_{x} := {g \in G | g \circ x = x} \leq G$ den Stabilisator von $x$ und
$G / G_{x} := {g \cdot G_{x} | g \in G} \subseteq 𝒫 (G)$ die Menge der Linksnebenklassen der Untergruppe $G_{x}$ in $G$ .

Beweis

Siehe: Beweis des Bahnensatzes im Beweisarchiv

Aus dem Bahnensatz folgert man die Bahnformel.

Bahnformel

Im Fall $| G \circ x | < \infty$ ist $(G : G_{x}) = | G \circ x |$ . Dabei bezeichnet $(G : G_{x}) := | G / G_{x} |$ den Index von $G_{x}$ in $G$ . Für endliche Gruppen $G$ gilt daher die Bahnformel

| G | = | G \circ x | \cdot | G_{x} |

.

Beispiele

Konjugation

Jede Gruppe $G$ operiert auf sich selber vermöge der Konjugationsoperation $g \circ x := g x g^{- 1}$ . Die Bahn $G \circ x := {g x g^{- 1} | g \in G}$ eines Elements $x \in G$ bezeichnet man als Konjugationsklasse von $x$ . Der Stabilisator $G_{x} := {g \in G | g x g^{- 1} = x} = {g \in G | g x = x g}$ heißt Zentralisator von $x$ und wird mit $Z_{G} (x)$ bezeichnet. Die Bahnformel liefert somit für endliche Gruppen $G$

| G | = | G \circ x | \cdot | Z_{G} (x) |

.

Transitive Operation

Ist die Operation einer endlichen Gruppe $G$ auf $M$ transitiv, so ist

| M | = | G \circ x | = (G : G_{x})

.

In diesem Fall muss also die Mächtigkeit von $M$ ein Teiler der Gruppenordnung sein.

Siehe auch

Gruppenoperation
Satz von Lagrange
Eine elegante Anwendung der Bahnformel zeigt der Beweis von Ernst Witt (1931) des (kleinen) Satzes von Wedderburn (1905): „Jeder endliche Schiefkörper ist kommutativ.“

Literatur

Kurt Meyberg: Algebra. Teil 1. 2. Auflage. Carl Hanser Verlag, 1980, ISBN 3-446-13079-9, S. 67
Rainer Schulze-Pillot: Elementare Algebra und Zahlentheorie. ISBN 978-3-540-45379-6, S. 121–124

Weblinks

Eric W. Weisstein: Bahn (Orbit) und Bahnformel. In: MathWorld (englisch). (englisch)