Baric-Algebra

Als Baric-Algebra bezeichnet man eine lineare Algebra mit einer nichttrivialen Gewichtsfunktion (englisch baric, von griechisch βάρος báros, deutsch ‚schwer, gewichtig‘). Baric-Algebren sind eine Verallgemeinerung der in der theoretischen Biologie betrachteten genetischen Algebren.

Definition

Eine (nicht notwendigerweise assoziative) Algebra ${\displaystyle A}$ über einem Körper ${\displaystyle K}$ heißt Baric-Algebra, wenn es einen nichttrivialen Algebrenhomomorphismus ${\displaystyle w\colon A\longrightarrow K}$ gibt. ${\displaystyle w}$ wird Gewichtsfunktion genannt, ${\displaystyle w(x)}$ heißt Gewicht von ${\displaystyle x\in A}$.

Der Begriff der Baric-Algebra wurde 1939 von I.M.H. Etherington bei der Untersuchung genetischer Algebren eingeführt. Aus darstellungstheoretischer Sicht ist eine Baric-Algebra eine Algebra mit einer nichttrivialen Darstellung über ihrem Skalarkörper. Nicht-assoziative Algebren haben im Allgemeinen gar keine Matrix-Darstellung, deren einfachste Form eine Darstellung über dem Skalarkörper ist.

Charakterisierungen

• Eine nicht-assoziative ${\displaystyle k}$-Algebra ${\displaystyle A}$ ist genau dann eine Baric-Algebra, wenn es so ein Ideal ${\displaystyle I\subset A}$ gibt, so dass ${\displaystyle A/I\cong k}$
• Eine nicht-assoziative ${\displaystyle n}$-dimensionale ${\displaystyle \mathbb {R} }$-Algebra ${\displaystyle A}$ ist genau dann eine Baric-Algebra, wenn sie eine genetische Basis besitzt, das heißt, zwischen den Basiselementen ${\displaystyle u_{1},u_{2},\dots ,u_{k}}$ besteht eine Beziehung ${\displaystyle u_{i}\cdot u_{j}=\sum _{k=1}^{n}\gamma _{ijk}u_{k}}$ mit Koeffizienten ${\displaystyle \gamma _{ijk}\in \mathbb {R} }$, für welche gilt: ${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}\gamma _{ijk}=1,\;\gamma _{ijk}\geq 0}$.
• Eine nicht-assoziative ${\displaystyle n}$-dimensionale ${\displaystyle \mathbb {R} }$-Algebra ${\displaystyle A}$ ist genau dann eine Baric-Algebra, wenn es ein ${\displaystyle (n-1)}$-dimensionales Ideal ${\displaystyle N\subset A}$ gibt, für das gilt: ${\displaystyle A^{\rm {2}}\nsubseteq N}$.

Beispiele

• ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ mit dem Vektorprodukt als Multiplikation bildet eine nicht-assoziative ${\displaystyle \mathbb {R} }$-Algebra. Dies ist keine Baric-Algebra, denn es gibt darin kein Ideal der Dimension 2, das aber benötigt würde, damit der Quotient zu ${\displaystyle \mathbb {R} }$ isomorph wäre. Allgemeiner lässt sich zeigen, dass halbeinfache Lie-Algebren keine Baric-Algebren sind.
• ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ mit zwei Basisvektoren ${\displaystyle e_{1},e_{2}}$, auf denen eine Multiplikation folgendermaßen erklärt ist:

${\displaystyle e_{1}\cdot e_{1}=e_{2},\;e_{1}\cdot e_{2}=e_{1},\;e_{2}\cdot e_{1}=e_{2},\;e_{2}\cdot e_{2}=e_{1}}$.

Damit ist eine genetische Basis gegeben und eine Baric-Algebra definiert; die Multiplikation ist nicht assoziativ:

${\displaystyle (e_{1}\cdot e_{2})\cdot e_{2}\neq e_{1}\cdot (e_{2}\cdot e_{2})}$.

Eine nicht-triviale Gewichtsfunktion ist ${\displaystyle w(\alpha _{1}e_{1}+\alpha _{2}e_{2})=\alpha _{1}+\alpha _{2}}$.

• Gametische Algebra G der einfachen mendelschen Vererbung:

${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ mit zwei Basisvektoren ${\displaystyle a_{1},a_{2}}$ und folgender Multiplikationstafel:

.	${\displaystyle a_{1}}$	${\displaystyle a_{2}}$
${\displaystyle a_{1}}$	${\displaystyle a_{1}}$	${\displaystyle {1 \over 2}a_{1}+{1 \over 2}a_{2}}$
${\displaystyle a_{2}}$	${\displaystyle {1 \over 2}a_{1}+{1 \over 2}a_{2}}$	${\displaystyle a_{2}}$

ist eine Baric-Algebra mit Gewichtsfunktion ${\displaystyle w(\alpha _{1}a_{1}+\alpha _{2}a_{2})=\alpha _{1}+\alpha _{2}}$.

Literatur

• Rudolf Lidl, Johann Wiesenbauer: Ringtheorie und Anwendungen: Grundlagen und Anwendungsbeispiele in der Kodierungstheorie und in der Genetik. Akademische Verlagsgesellschaft, Wiesbaden 1980, ISBN 3-400-00371-9
• Angelika Wörz-Busekros: Algebras in Genetics. Springer-Verlag, Berlin / Heidelberg / New York 1980, ISBN 3-540-09978-6.
• I.M.H. Etherington: Genetic Algebras. In: Proc. Roy. Soc. Edinburgh, 59, 1939, S. 242–258