Bessel-Filter

Ein Bessel-Filter (auch als Bessel-Thomson-Filter bezeichnet) ist ein Frequenzfilter, bei dessen Entwurf folgende (äquivalente) Eigenschaften angestrebt werden:

• optimales „Rechteckübertragungsverhalten“, d. h. eine Wellenform, deren Frequenzanteile innerhalb des Durchlassbereichs des Filters liegen, erscheint (bis auf eine Verzögerung) nahezu unverändert am Ausgang;
• konstante Gruppenlaufzeit im Durchlassbereich;
• linearer Phasengang im Durchlassbereich.

Dabei wird in Kauf genommen, dass der Amplitudenverlauf nicht so scharf wie beim Butterworth-Filter oder Tschebyscheff-Filter abknickt.

Das Filter wurde 1949 von W.E. Thomson als – hinsichtlich der Gruppenlaufzeit – optimales passives Verzögerungsnetzwerk entwickelt und nach dem deutschen Mathematiker Friedrich Wilhelm Bessel (1784–1846) benannt.

In der digitalen Signalverarbeitung können Bessel-Filter durch Wahl entsprechender Filterkoeffizienten in IIR-Filtern (rekursive Filterstruktur) realisiert werden.

Übertragungsfunktion

Die Übertragungsfunktion ist darauf optimiert, die Gruppenlaufzeit von der Frequenz unabhängig zu machen.

Mit der Übertragungsfunktion für ein Filter n-ter Ordnung

${\displaystyle {\underline {A}}={\frac {A_{0}}{1+\sum _{i=1}^{n}c_{i}^{\prime }P^{i}}}}$

mit

${\displaystyle A_{0}}$ Gleichspannungsverstärkung

${\displaystyle P={\frac {p}{\omega _{g}}}\Leftrightarrow j\Omega =j{\frac {\omega }{\omega _{g}}}}$ und ${\displaystyle \omega _{g}}$ Grenzfrequenz

lässt sich für die Koeffizienten ${\displaystyle c_{i}^{\prime }}$ die Rekursionsformel

i = 1:	${\displaystyle c_{1}^{\prime }=1}$
i = 2 … n:	${\displaystyle c_{i}^{\prime }={\frac {2(n-i+1)}{i(2n-i+1)}}\cdot c_{i-1}^{\prime }}$

ermitteln.

Die Koeffizienten sind allerdings nicht auf die Grenzfrequenz normiert, sondern auf die Gruppenlaufzeit, d. h. bei ${\displaystyle \Omega =1}$ ist die Amplitude nicht um 3 dB abgesunken. In finden sich diese Koeffizienten auf die Grenzfrequenz umgerechnet sowie die Koeffizienten aller Einzelfilter bis zur zehnten Ordnung.

Eigenschaften

Das Bessel-Filter besitzt folgende Eigenschaften:

• glatter Frequenzverlauf im Durchlassbereich
• geringe Steilheit des Amplitudengangs (geringer als beim Butterworth-Filter) im Bereich der Grenzfrequenz
• geringes Überschwingen bei der Sprungantwort, verringert sich mit der Ordnung
• konstante Gruppenlaufzeit im Durchlassbereich

Normalisierte Bessel-Polynome

n	Bessel-Polynom
1	${\displaystyle 1+P}$
2	${\displaystyle 1+P+{\frac {1}{3}}P^{2}}$
3	${\displaystyle 1+P+{\frac {2}{5}}P^{2}+{\frac {1}{15}}P^{3}}$
4	${\displaystyle 1+P+{\frac {3}{7}}P^{2}+{\frac {2}{21}}P^{3}+{\frac {1}{105}}P^{4}}$
5	${\displaystyle 1+P+{\frac {4}{9}}P^{2}+{\frac {1}{9}}P^{3}+{\frac {1}{63}}P^{4}+{\frac {1}{945}}P^{5}}$

Siehe auch

• Tschebyscheff-Filter
• Cauer-Filter
• Butterworth-Filter

Literatur

• T. D. McGlone: Butterworth & Bessel Filters: A Tutorial Overview. CreateSpace Independent Publishing Platform, 2016, ISBN 978-1533172808.

Einzelnachweise

1. ↑ Ulrich Tietze, Christoph Schenk: Halbleiter-Schaltungstechnik. 8. Auflage. Springer, Berlin/Heidelberg 1986, ISBN 3-540-16720-X.