Bild (Mathematik)

Übliche Notationen

Für eine Funktion ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ und eine Teilmenge ${\displaystyle M}$ von ${\displaystyle X}$ bezeichnet man die folgende Menge als das Bild von M unter f:

${\displaystyle f(M):=\{f(x)\mid x\in M\}\;\;\subseteq Y.}$

Das Bild von ${\displaystyle f}$ ist dann das Bild der Definitionsmenge unter ${\displaystyle f}$, also:

${\displaystyle \operatorname {Bild} (f):=f(X).}$

Im Allgemeinen nutzt man die übliche Mengennotation, um die Bildmenge darzustellen, in der oberen Grafik ist das bspw. ${\displaystyle \mathrm {Bild} (f)=\{A,B,D\}.}$

Alternative Notationen

• Obige Schreibweise ${\displaystyle f(M)}$ ist mit Vorsicht zu genießen. Ist ${\displaystyle M}$ eine Menge und ${\displaystyle X:=M\cup \{M\}}$, so ist ${\displaystyle M\subset X}$ und ${\displaystyle M\in X}$. Für eine Funktion ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ ist ${\displaystyle f(M)}$ dann mehrdeutig. Es kann für das Bild der Menge ${\displaystyle M\subset X}$ oder für den Funktionswert von ${\displaystyle M\in X}$ stehen. Daher verwenden manche Autoren eckige Klammern, das heißt ${\displaystyle f[M]}$ für die Bildmenge. Als weitere Bezeichnungsweise kommt gelegentlich ${\displaystyle f''M}$ vor. In vielen Bereichen bereitet diese Mehrdeutigkeit keine Probleme.

• Für ${\displaystyle \operatorname {Bild} (f)}$ ist auch die englische Bezeichnung ${\displaystyle \operatorname {im} (f)}$ („im“ vom englischen Wort image) gebräuchlich.

Quadratfunktion

Wir betrachten die Funktion ${\displaystyle f\colon \mathbb {Z} \to \mathbb {Z} }$ (ganze Zahlen) mit ${\displaystyle f(z):=z^{2}}$.

• Hierbei werden verschiedene Eingabemengen nicht unbedingt auf verschiedene Bildmengen geschickt:

${\displaystyle f(\{1,2,3\})=\{1,4,9\}\ }$

${\displaystyle f(\{-3,-2,-1\})=\{1,4,9\}\ }$

${\displaystyle f(\{-3,-2,-1,1,2,3\})=\{1,4,9\}\ }$

• Insgesamt ist die Menge der Quadratzahlen das Bild der Funktion:

${\displaystyle \operatorname {Bild} (f)=\{0,1,4,9,16,25,36,49,\dotsc \}\ }$

Weitere bekannte Funktionen

• ${\displaystyle \sin(\mathbb {R} )=[-1,1]}$: Die Sinusfunktion pendelt zwischen −1 und 1. Jeder Punkt aus ${\displaystyle [-1,1]}$ wird unendlich oft angenommen.
• ${\displaystyle \exp(\mathbb {R} )=\mathbb {R} ^{+}=\{x\in \mathbb {R} \mid x>0\}}$. Das Bild der Exponentialfunktion besteht aus allen positiven Zahlen. Jeder Punkt aus ${\displaystyle \mathbb {R} ^{+}}$ wird genau einmal angenommen.
• Ist ${\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} ,x\mapsto x^{2}}$ die Quadratfunktion, so ist ${\displaystyle f(\mathbb {R} )=\mathbb {R} _{0}^{+}=\{x\in \mathbb {R} \mid x\geq 0\}}$. Die ${\displaystyle 0}$ wird genau einmal angenommen, jeder andere Punkt des Bildes genau zweimal.

Quadratische Matrix

Sei ${\displaystyle f\colon \mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{2},\;f(x):=Ax,\;}$ mit ${\displaystyle A={\begin{pmatrix}a_{1,1}&a_{1,2}\\0&0\end{pmatrix}}\neq {\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}},\;}$ eine lineare Abbildung.

Dann ist

${\displaystyle \operatorname {Bild} (f)=\{y\in \mathbb {R} ^{2}:\exists x\in \mathbb {R} ^{2}{\text{ mit }}y=Ax\}=\{(y_{1},0)^{\top }:y_{1}\in \mathbb {R} \},}$

also die ${\displaystyle x_{1}}$-Achse des euklidischen Raums. Der verschwundene Teil, hier die ${\displaystyle x_{2}}$-Achse, ist dann der sogenannte Kern der Abbildung.