Biquadrat

Als Biquadrat wird in der Mathematik das „Quadrat des Quadrates“ bezeichnet, also die vierte Potenz einer Zahl, beispielsweise $(5^{2})^{2} = 5^{4}$ .

Biquadratische Gleichungen sind polynomiale Gleichungen, in denen ein Biquadrat als höchste Potenz auftaucht. Spezieller wird zusätzlich oft noch gefordert, dass eine biquadratische Gleichung nur gerade Exponenten aufweist: $a x^{4} + c x^{2} + e = 0, a \neq 0$

Identitäten

Für Biquadrate gilt die Identität von Ferrari, die auf eine Publikation des Mathematikers Francesco Ferrari aus dem Jahre 1909 zurückgeht und besagt, dass für beliebige komplexe Zahlen $a, b, c \in ℂ$ stets folgendes gilt:

(a^{2} + 2 a c - 2 b c - b^{2})^{4} + (b^{2} - 2 a b - 2 a c - c^{2})^{4} + (c^{2} + 2 a b + 2 b c - a^{2})^{4} = 2 (a^{2} + b^{2} + c^{2} - a b + a c + b c)^{4}

Gleichwertig ist damit eine von S. Ramanujan gefundene Identität, der zufolge für $a + b + c = 0$ stets

$2 (a b + b c + c a)^{4} = a^{4} (b - c)^{4} + b^{4} (c - a)^{4} + c^{4} (a - b)^{4}$

gilt.

Einzelnachweise

↑ Biquadrat. Abgerufen am 25. Oktober 2013.
↑ Eric W. Weisstein: Diophantine Equation--4th Powers. In: MathWorld (englisch). & Eric W. Weisstein: Ferrari's Identity. In: MathWorld (englisch).

[1] Biquadrat. Abgerufen am 25. Oktober 2013.

[MW-01-2] Eric W. Weisstein: Diophantine Equation--4th Powers. In: MathWorld (englisch). & Eric W. Weisstein: Ferrari's Identity. In: MathWorld (englisch).