Bivektor

In der Mathematik ist ein Bivektor eine Summe von Summanden der Form $u_{i} \land v_{i}$ mit Vektoren $u_{i}, v_{i}$ . Formal handelt es sich um Elemente der äußeren Algebra $Λ^{2} V$ eines Vektorraums $V$ .

Dabei ist

$u \land v = - v \land u$ und insbesondere $u \land u = 0$ ,
$(u \land v) \land w = u \land (v \land w)$ ,
$u \land (a v + b w) = a u \land v + b u \land w$ für Körperelemente $a, b$ .

Aus $u = a e_{1} + b e_{2}, v = c e_{1} + d e_{2}$ für Vektoren $e_{1}, e_{2}$ und Körperelemente $a, b, c, d$ folgt

u \land v = d e t (\begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix}) e_{1} \land e_{2}

.

Falls $e_{1}, e_{2}$ Vektoren der Standardbasis sind, ist der Vorfaktor der rechten Seite also der Flächeninhalt des von $u$ und $v$ aufgespannten Parallelogramms.

Für $d i m V \leq 3$ kann man jeden Bivektor als $u \land v$ mit $u, v \in V$ zerlegen. In höherdimensionalen Vektorräumen benötigt man im Allgemeinen mehrere Summanden.

Bivektorfelder auf Mannigfaltigkeiten

Sei $M$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit, dann bezeichnet $\land^{2} T M$ den Raum der Bivektoren auf $M$ . $\land^{2} T M$ ist ein Vektorbündel über $M$ . Ein Bivektorfeld $π : M \to \land^{2} T M$ ist eine Abbildung, welche jedem Punkt $m \in M$ einen Bivektor $π (m) \in \land^{2} T M$ zuordnet. Der Raum der Bivektorfelder wird mit $Γ (\land^{2} T M)$ notiert.

Weblinks

bivector (nLab)

Einzelnachweise

↑ Chiara Esposito: Formality Theory From Poisson Structures to Deformation Quantization. In: Springer Verlag (Hrsg.): Springer Briefs in Mathematical Physics Band 2. 2014, S. 11.

[1] Chiara Esposito: Formality Theory From Poisson Structures to Deformation Quantization. In: Springer Verlag (Hrsg.): Springer Briefs in Mathematical Physics Band 2. 2014, S. 11.