Borwein-Integral

In der Mathematik bezeichnet Borwein-Integral Integralterme, die Produkte der Sinc-Funktion enthalten und deren ungewöhnliche Eigenschaften erstmals 2001 von den Mathematikern David Borwein und Jonathan Borwein vorgestellt wurden.

Folgen dieser Integrale sind bekannt dafür, dass sie scheinbare Muster beinhalten, die sich dann aber als falsch herausstellen.

Einfache Folge

Die einfachste Folge sind folgende Integrale, die für die ersten sieben Glieder exakt $π / 2$ , danach aber minimal kleinere Werte liefert.

\begin{matrix} A_{1} = \int_{0}^{\infty} \frac{\sin (x)}{x} d x = π / 2 \\ A_{2} = \int_{0}^{\infty} \frac{\sin (x)}{x} \frac{\sin (x / 3)}{x / 3} d x = π / 2 \\ A_{3} = \int_{0}^{\infty} \frac{\sin (x)}{x} \frac{\sin (x / 3)}{x / 3} \frac{\sin (x / 5)}{x / 5} d x = π / 2 \end{matrix}

Dieses Muster wiederholt sich bis

A_{7} = \int_{0}^{\infty} \frac{\sin (x)}{x} \frac{\sin (x / 3)}{x / 3} \dots \frac{\sin (x / 13)}{x / 13} d x = π / 2

Das folgende Glied lautet aber:

\begin{matrix} A_{8} & = \int_{0}^{\infty} \frac{\sin (x)}{x} \frac{\sin (x / 3)}{x / 3} \dots \frac{\sin (x / 13)}{x / 13} \frac{\sin (x / 15)}{x / 15} d x \\ = \frac{467807924713440738696537864469}{935615849440640907310521750000} π \\ = \frac{π}{2} - \frac{6879714958723010531}{935615849440640907310521750000} π \\ ≃ \frac{π}{2} - 2,310057 \cdot 1 0^{- 11} < \frac{π}{2} . \end{matrix}

Auch die folgenden Glieder $A_{9}, A_{10}, \dots$ weichen immer weiter von $π / 2$ ab. Der Grenzwert $A_{\infty}$ liegt bei etwa $π / 2 - 3,52 \cdot 1 0^{- 5}$ .

Hinweis

Man beachte $1 / 3 + 1 / 5 + \dots + 1 / 13 = 0,9551 \dots \leq 1$ , aber $1 / 3 + 1 / 5 + \dots + 1 / 13 + 1 / 15 = 1,0218 \dots \leq̸ 1$ .

Längere Folge

Wem das noch nicht gereicht hat, die Folge behält dieses Verhalten wesentlich länger bei:

\begin{matrix} A_{1} = \int_{0}^{\infty} 2 \cos (x) \frac{\sin (x)}{x} d x = π / 2 \\ A_{2} = \int_{0}^{\infty} 2 \cos (x) \frac{\sin (x)}{x} \frac{\sin (x / 3)}{x / 3} d x = π / 2 \\ A_{3} = \int_{0}^{\infty} 2 \cos (x) \frac{\sin (x)}{x} \frac{\sin (x / 3)}{x / 3} \frac{\sin (x / 5)}{x / 5} d x = π / 2 \end{matrix}

Dieses Muster wiederholt sich hier bis

A_{56} = \int_{0}^{\infty} 2 \cos (x) \frac{\sin (x)}{x} \frac{\sin (x / 3)}{x / 3} \dots \frac{\sin (x / 111)}{x / 111} d x = π / 2,

aber nicht mehr bei diesem Glied

A_{57} = \int_{0}^{\infty} 2 \cos (x) \frac{\sin (x)}{x} \frac{\sin (x / 3)}{x / 3} \dots \frac{\sin (x / 111)}{x / 111} \frac{\sin (x / 113)}{x / 113} d x ≃ \frac{π}{2} - 2,332429 \cdot 1 0^{- 138} < \frac{π}{2} .

Hinweis

Man beachte $1 / 1 + 1 / 3 + \dots + 1 / 111 = 2,9944 \dots < 3$ , aber $1 / 1 + 1 / 3 + \dots + 1 / 111 + 1 / 113 = 3,0032 \dots > 3$ .

Noch längere Folge

Diese Folge reißt erst nach 14419 Gliedern aus.

\begin{matrix} A_{1} = \int_{0}^{\infty} \frac{\sin (x)}{x} d x = π / 2 \\ A_{2} = \int_{0}^{\infty} \frac{\sin (x)}{x} \frac{\sin (x / 11)}{x / 11} d x = π / 2 \\ A_{3} = \int_{0}^{\infty} \frac{\sin (x)}{x} \frac{\sin (x / 11)}{x / 11} \frac{\sin (x / 21)}{x / 21} d x = π / 2 \end{matrix}

Dieses Muster wiederholt sich bis

A_{14418} = \int_{0}^{\infty} \frac{\sin (x)}{x} \frac{\sin (x / 11)}{x / 11} \dots \frac{\sin (x / 144171)}{x / 144171} d x = π / 2

Das folgende Glied lautet aber:

A_{14419} = \int_{0}^{\infty} \frac{\sin (x)}{x} \frac{\sin (x / 11)}{x / 11} \dots \frac{\sin (x / 144171)}{x / 144171} \frac{\sin (x / 144181)}{x / 144181} d x < \frac{π}{2} .

Hinweis

Man beachte $1 / 11 + 1 / 21 + \dots + 1 / 144171 = 0,999995990 \dots \leq 1$ , aber $1 / 11 + 1 / 21 + \dots + 1 / 144171 + 1 / 144173 = 1,000002925 \dots \leq̸ 1$ .

Allgemeine Formel

Für eine Folge reeller Zahlen, $a_{0}, a_{1}, a_{2}, \dots$ kann eine geschlossene Form von

\int_{0}^{\infty} \prod_{k = 0}^{n} \frac{\sin (a_{k} x)}{a_{k} x} d x

gegeben werden. Die geschlossene Form befasst sich mit Summen der $a_{k}$ . Für ein n-Tupel $γ = (γ_{1}, γ_{2}, \dots, γ_{n}) \in {\pm 1}^{n}$ sei $b_{γ} := a_{0} + γ_{1} a_{1} + γ_{2} a_{2} + \dots + γ_{n} a_{n}$ . Ein solches $b_{γ}$ ist eine „alternierende Summe“ der ersten $a_{k}$ . Setze $ε_{γ} = γ_{1} γ_{2} \dots γ_{n} = \pm 1$ . Dann ist

\int_{0}^{\infty} \prod_{k = 0}^{n} \frac{\sin (a_{k} x)}{a_{k} x} d x = \frac{π}{2 a_{0}} C_{n}

,

wobei

C_{n} := \frac{1}{2^{n} n! \prod_{k = 1}^{n} a_{k}} \sum_{γ \in {\pm 1}^{n}} ε_{γ} b_{γ}^{n} sgn (b_{γ})

Falls $a_{0} > | a_{1} | + | a_{2} | + \dots + | a_{n} |$ gilt $C_{n} = 1$ .

Einzelnachweise

↑ David Borwein, Jonathan M. Borwein: Some remarkable properties of sinc and related integrals. In: The Ramanujan Journal. Band 5, 2001, S. 73–89.

Weblinks

David Borwein, Jonathan M. Borwein: Some Remarkable Properties of Sinc and Related Integrals
3Blue1Brown: Researchers thought this was a bug (Borwein integrals) auf YouTube, 4. November 2022.

[1] David Borwein, Jonathan M. Borwein: Some remarkable properties of sinc and related integrals. In: The Ramanujan Journal. Band 5, 2001, S. 73–89.