CES-Funktion

Als CES-Funktion (kurz für englisch constant elasticity of substitution – „konstante Substitutionselastizität“) bezeichnet man in der Volkswirtschaftslehre eine Klasse von Funktionen, die sich dadurch auszeichnen, dass sie an jeder Stelle ihres Definitionsbereiches dieselbe Substitutionselastizität aufweisen. Diese Eigenschaft ist in einer Vielzahl von ökonomischen Anwendungen – sei es im mikro- oder im makroökonomischen Bereich – vorteilhaft. Für bestimmte Parameterkonstellationen gehen aus der allgemeinen CES-Funktion überdies spezielle Funktionsklassen hervor, die ebenfalls weitläufig Gebrauch finden.

In der wissenschaftlichen Praxis finden CES-Funktionen unter anderem als Nachfragefunktionen (CES-Nachfragefunktion), Nutzenfunktionen (CES-Nutzenfunktion) und Produktionsfunktion (CES-Produktionsfunktion) Verwendung.

Definition

Als CES-Funktion bezeichnet man allgemein eine Funktion

z = β \cdot {[α_{1} x_{1}^{- ρ} + α_{2} x_{2}^{- ρ} + \dots + α_{n} x_{n}^{- ρ}]}^{- γ / ρ}

mit

β, γ > 0

;

x_{i} > 0

und

α_{i} > 0

für alle

i = 1, \dots, n

sowie

ρ \neq 0

.

Dabei ist (aus noch zu erläuternden Gründen) $γ$ der Homogenitätsgrad. Fast immer setzt man $β = 1$ und in der Regel auch $γ = 1$ .

Unterschiedliche Verwendungszwecke

Nutzt man die Funktion als Produktionsfunktion, bezeichnet man sie regelmäßig mit $y$ (statt $z$ ), um auszudrücken, dass sie die produzierte Menge eines Gutes anzeigt. Die $x_{i}$ stehen dann für die Menge des eingesetzten Inputfaktors $i$ , wobei es eben $n$ Inputfaktoren gibt. Häufig verwendet wird so beispielsweise die Zwei-Faktoren-CES-Produktionsfunktion $y = {[α_{1} K^{- ρ} + α_{2} L^{- ρ}]}^{- 1 / ρ}$ (bisweilen auch mit der Vorgabe $α_{1} + α_{2} = 1$ ), wobei $K$ für den Kapital- und $L$ für den Arbeitseinsatz steht; in einer von Robert Solow im Feld der Wachstumstheorie eingeführten Version ist $y = (α K^{ρ} + L^{ρ})^{1 / ρ}$ .

Bei der Verwendung als Nutzenfunktion (in der Regel $u$ ) bezeichnet $x_{i}$ die Menge des konsumierten Gutes $i$ .

Eigenschaften

Es lässt sich zeigen, dass die CES-Funktion im definierten Sinne homogen vom Grade $γ$ ist. Weiterhin ist sie für $ρ \leq - 1$ quasikonvex, für $ρ \geq - 1$ quasikonkav. Für $0 < γ \leq 1$ und zugleich $ρ \geq - 1$ ist sie überdies konkav und für $0 < γ < 1$ , $ρ > - 1$ sogar strikt konkav.

Spezialfälle

Es kann gezeigt werden, dass die CES-Funktion für $ρ \to 0$ in eine Funktion vom Cobb-Douglas-Typ (mit Substitutionselastizität $σ = 1$ ) und für $ρ \to \infty$ in eine Leontief-Funktion ( $σ = 0$ ) übergeht.

Spezifische Parameterkonstellationen erlauben weitere Präzisierungen. So ist beispielsweise $z = {[α_{1} x_{1}^{- ρ} + \dots + α_{n} x_{n}^{- ρ}]}^{- 1 / ρ}$ mit $α_{1} + \dots + α_{n} = 1$ vom CES-Typ mit Substitutionselastizität $σ = 1 / (1 + ρ)$ . Für $ρ \to 0$ konvergiert $σ \to 1$ und $z$ reduziert sich zur linear-homogenen Cobb-Douglas-Funktion $z = x_{1}^{α_{1}} \dots x_{n}^{α_{n}}$ . Für $ρ \to \infty$ folgt wiederum $σ \to 0$ und es ergibt sich im Grenzwert die Leontief-Funktion $z = min {x_{1}, \dots, x_{n}}$ .

Literatur

Kenneth Arrow, H. B. Chenery, B. S. Minhas und Robert Solow: Capital-Labor Substitution and Economic Efficiency. In: Review of Economics and Statistics. 43, Nr. 3, 1961, S. 225–250.
Geoffrey A. Jehle und Philip J. Reny: Advanced Microeconomic Theory. 3. Aufl. Financial Times/Prentice Hall, Harlow 2011, ISBN 978-0-273-73191-7.
Andreu Mas-Colell, Michael Whinston und Jerry Green: Microeconomic Theory. Oxford University Press, Oxford 1995, ISBN 0-195-07340-1.
Carl P. Simon und Lawrence Blume: Mathematics for Economists. W. W. Norton, New York und London 1994, ISBN 0-393-95733-0.
Knut Sydsæter, Arne Strøm und Peter Berck: Economists’ mathematical manual. 4. Aufl. Springer, Berlin u. a. 2005, ISBN 978-3-540-26088-2 (auch als E-Book: doi:10.1007/3-540-28518-0).
Knut Sydsæter u. a.: Further mathematics for economic analysis. 2. Aufl. Financial Times/Prentice Hall, Harlow 2008, ISBN 978-0-273-71328-9.
Hal Varian: Microeconomic Analysis. W. W. Norton, New York und London 1992, ISBN 0-393-95735-7.
Susanne Wied-Nebbeling und Helmut Schott: Grundlagen der Mikroökonomik. Springer, Heidelberg u. a. 2007, ISBN 978-3-540-73868-8. [S. 127–131]

Einzelnachweise

↑ Die hiesige Definition folgt Sydsæter u. a. 2008, S. 72 und Simon/Blume 1994, S. 275. Bei ihr handelt es sich um eine generalisierte Form; vielfach werden auch bereits bestimmte Eigenschaften vorausgesetzt. So beschränkt sich der weit überwiegende Teil der Literatur auf den Fall mit $β = 1$ (Sydsaeter/Strøm/Berck 2005, S. 166; Varian 1992, S. 19; Jehle/Reny 2011, S. 130; Mas-Colell/Whinston/Green 1995, S. 97) und üblicherweise ist auch $γ = 1$ (Varian 1992, S. 19; Jehle/Reny 2011, S. 130; Mas-Colell/Whinston/Green 1995, S. 97); bisweilen wird überdies nur der Fall mit $α_{i} = 1$ betrachtet (Jehle/Reny 2011, S. 130). Regelmäßig wird in der Funktion auch $ρ$ statt $- ρ$ verwendet (Varian 1992, S. 19; Jehle/Reny 2011, S. 130; Mas-Colell/Whinston/Green 1995, S. 97; wie hier Sydsaeter/Strøm/Berck 2005, S. 166 und Wied-Nebbeling/Schott 2007, S. 128); daraus ergibt sich jedoch lediglich ein interpretatorischer Unterschied infolge abweichender Elastizitätsdefinitionen.
↑ Vgl. beispielsweise Wied-Nebbeling/Schott 2007, S. 128.
↑ Robert M. Solow: A Contribution to the Theory of Economic Growth. In: The Quarterly Journal of Economics. 70, Nr. 1, 1956, S. 65–94 ( (PDF; 2,2 MB); JSTOR:1884513).
↑ Zu dieser und den folgenden Eigenschaften vgl. Sydsæter u. a. 2008, S. 72 (dort auch mit Beweisen) und Sydsaeter/Strøm/Berck 2005, S. 166.
↑ Diese Eigenschaft ist freilich nicht von nennenswerter praktischer Relevanz; im Fall $ρ < - 1$ würde die CES-Technologie dann nämlich konkave Isoquanten implizieren, was wenig plausibel erscheint.
↑ Vgl. beispielsweise Wied-Nebbeling/Schott 2007, S. 128 ff. für den Fall $n = 2$ und $α_{1} + α_{2} = 1$ .
↑ Vgl. Jehle/Reny 2011, S. 131.

[1] Die hiesige Definition folgt Sydsæter u. a. 2008, S. 72 und Simon/Blume 1994, S. 275. Bei ihr handelt es sich um eine generalisierte Form; vielfach werden auch bereits bestimmte Eigenschaften vorausgesetzt. So beschränkt sich der weit überwiegende Teil der Literatur auf den Fall mit $β = 1$ (Sydsaeter/Strøm/Berck 2005, S. 166; Varian 1992, S. 19; Jehle/Reny 2011, S. 130; Mas-Colell/Whinston/Green 1995, S. 97) und üblicherweise ist auch $γ = 1$ (Varian 1992, S. 19; Jehle/Reny 2011, S. 130; Mas-Colell/Whinston/Green 1995, S. 97); bisweilen wird überdies nur der Fall mit $α_{i} = 1$ betrachtet (Jehle/Reny 2011, S. 130). Regelmäßig wird in der Funktion auch $ρ$ statt $- ρ$ verwendet (Varian 1992, S. 19; Jehle/Reny 2011, S. 130; Mas-Colell/Whinston/Green 1995, S. 97; wie hier Sydsaeter/Strøm/Berck 2005, S. 166 und Wied-Nebbeling/Schott 2007, S. 128); daraus ergibt sich jedoch lediglich ein interpretatorischer Unterschied infolge abweichender Elastizitätsdefinitionen.

[2] Vgl. beispielsweise Wied-Nebbeling/Schott 2007, S. 128.

[3] Robert M. Solow: A Contribution to the Theory of Economic Growth. In: The Quarterly Journal of Economics. 70, Nr. 1, 1956, S. 65–94 ( (PDF; 2,2 MB); JSTOR:1884513).

[4] Zu dieser und den folgenden Eigenschaften vgl. Sydsæter u. a. 2008, S. 72 (dort auch mit Beweisen) und Sydsaeter/Strøm/Berck 2005, S. 166.

[5] Diese Eigenschaft ist freilich nicht von nennenswerter praktischer Relevanz; im Fall $ρ < - 1$ würde die CES-Technologie dann nämlich konkave Isoquanten implizieren, was wenig plausibel erscheint.

[6] Vgl. beispielsweise Wied-Nebbeling/Schott 2007, S. 128 ff. für den Fall $n = 2$ und $α_{1} + α_{2} = 1$ .

[7] Vgl. Jehle/Reny 2011, S. 131.