Càdlàg-Funktion

Eine Càdlàg-Funktion (auch Cadlag) ist eine spezielle reellwertige Funktion, die beispielsweise in der Stochastik angewendet wird. Dabei ist Càdlàg ein französisches Akronym (französisch continue à droite, limite à gauche „rechtsseitig stetig, mit Grenzwerten von links“). Teils findet sich auch die aus dem englischen abgeleitete RCLL (right continuous, left limits). Analog spricht man auch von Càglàd-Funktionen (oder Làdcàg-Funktionen) (continue à gauche, limite à droite).

Definition

Sei ${\displaystyle E}$ ein polnischer Raum wie beispielsweise ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$. Eine Funktion

${\displaystyle f\colon [0,\infty )\to E}$

heißt

• Càdlàg-Funktion, wenn für alle ${\displaystyle x\in [0,\infty )}$ die Funktion ${\displaystyle f}$ in ${\displaystyle x}$ rechtsseitig stetig ist und der linksseitige Grenzwert in ${\displaystyle x}$ existiert und endlich ist.
• Càglàd-Funktion, wenn für alle ${\displaystyle x\in [0,\infty )}$ die Funktion ${\displaystyle f}$ in ${\displaystyle x}$ linksseitig stetig ist und der rechtsseitige Grenzwert in ${\displaystyle x}$ existiert und endlich ist.

Der Raum aller Càdlàg-Funktionen ${\displaystyle f\colon I\to \mathbb {R} ^{d}}$ auf einem Intervall ${\displaystyle I=[a,b]}$ wird oft mit ${\displaystyle D([a,b])}$ bezeichnet.

Raum der Càdlàg-Funktionen

Der Raum der Càdlàg-Funktionen lässt sich mit verschiedenen Metriken oder Topologien ausstatten:

• mit der primitiv durch die Supremumsnorm induzierten Metrik erhält man einen nicht-separablen Banachraum.
• mit bestimmt gewählten Metriken lassen sich die Skorochod-Topologien ${\displaystyle J_{1}}$, ${\displaystyle J_{2}}$, ${\displaystyle M_{1}}$ oder ${\displaystyle M_{2}}$ induzieren, wobei der Raum dann Skorochodraum genannt wird.
• mit der durch die stochastische Mechanik nach Edward Nelson motivierte Meyer-Zheng-Topologie.
• mit der ${\displaystyle S}$-Topologie nach Adam Jakubowski.

Anwendungen in der Stochastik

Die Verteilungsfunktion ${\displaystyle F(x)=P(X\leq x)}$ einer reellen Zufallsvariablen ${\displaystyle X}$ ist stets eine Càdlàg-Funktion.

Ein stochastischer Prozess ${\displaystyle X=(X_{t})_{t\geq 0}}$ wird càdlàg genannt, wenn fast sicher jeder Pfad ${\displaystyle t\rightarrow X_{t}}$ an jeder Stelle ${\displaystyle t}$ rechtsseitig stetig ist und dort die linksseitigen Grenzwerte existieren. Ein Beispiel dafür sind Poisson-Prozesse.

Literatur

• Achim Klenke: Wahrscheinlichkeitstheorie. 3. Auflage. Springer-Verlag, Berlin/Heidelberg 2013, ISBN 978-3-642-36017-6, doi:10.1007/978-3-642-36018-3. 

Weblinks

• Eric W. Weisstein: Cadlag Function. In: MathWorld (englisch).
• Eintrag zum Skorokhod-Raum (archiviert) und zur Skorochod-Topologie (archiviert) in der Encyclopaedia of Mathematics
• Eintrag zur Skorochod-Topologie im Lexikon der Mathematik

Einzelnachweise

1. ↑ А. В. Скороход: Предельные теоремы для случайных процессов. In: Теория вероятн. и ее примен. Band 1, Nr. 3. Moskau 1956 (russisch, mathnet.ru). 
2. ↑ A. V. Skorokhod: Limit Theorems for Stochastic Processes. In: Theory of Probability & Its Applications. Band 1, Nr. 3, Januar 1956, ISSN 0040-585X, S. 261–290, doi:10.1137/1101022 (siam.org [abgerufen am 25. Januar 2026]). 
3. ↑ P. A. Meyer, W. A. Zheng: Tightness criteria for laws of semimartingales. In: Annales de l'I.H.P. Probabilités et statistiques. Band 20, Nr. 4, 1984, ISSN 1778-7017, S. 353–372 (numdam.org [abgerufen am 25. Januar 2026]). 
4. ↑ Adam Jakubowski: A Non-Skorohod Topology on the Skorohod Space. In: Electronic Journal of Probability. Band 2, none, 1. Januar 1997, ISSN 1083-6489, doi:10.1214/EJP.v2-18 (projecteuclid.org [abgerufen am 25. Januar 2026]). 
5. ↑ Adam Jakubowski: New characterizations of the $S$ topology on the Skorokhod space. In: Electronic Communications in Probability. Band 23, none, 1. Januar 2018, ISSN 1083-589X, doi:10.1214/17-ECP105 (projecteuclid.org [abgerufen am 25. Januar 2026]).