Cauchy-Kriterium

Kriterium

Eine Folge ${\displaystyle (a_{n})_{n\in \mathbb {N} }=a_{1},a_{2},\ldots }$ reeller oder komplexer Zahlen konvergiert genau dann gegen einen reellen bzw. komplexen Grenzwert, wenn sie die folgende Eigenschaft hat: Zu jedem ${\displaystyle \varepsilon >0}$ gibt es einen Index ${\displaystyle N}$, sodass der Abstand zweier beliebiger Folgenglieder ab diesem Index kleiner als ${\displaystyle \varepsilon }$ ist.

Diese Eigenschaft wird in der Literatur auch als Cauchy-Bedingung bezeichnet. Formal liest sie sich als

${\displaystyle \forall \varepsilon >0\quad \exists N\in \mathbb {N} \quad \forall m,n\geq N\colon \quad \left|a_{m}-a_{n}\right|<\varepsilon }$.

Eine Folge, welche die Cauchy-Bedingung erfüllt, ist eine Cauchy-Folge. Das Kriterium lässt sich somit prägnant formulieren durch:

Eine Folge reeller oder komplexer Zahlen konvergiert genau dann, wenn sie eine Cauchy-Folge ist.

Das Beispiel ${\textstyle a_{n}=\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}}$ (Harmonische Reihe) zeigt, dass es im Cauchy-Kriterium wirklich auf den Abstand zweier beliebiger Folgenglieder ab dem Index ${\displaystyle N}$ ankommt und nicht nur auf den Abstand aufeinanderfolgender Folgenglieder.

Beispiel

Die Folge reeller Zahlen ${\displaystyle (a_{n})}$ sei rekursiv durch

${\displaystyle a_{n+1}={\tfrac {1}{2}}(1-a_{n}^{2})}$

gegeben, wobei ${\displaystyle a_{0}=0}$ ist. Um die Konvergenz dieser Folge mit dem Cauchy-Kriterium zu zeigen, berechnet man zunächst

${\displaystyle |a_{n+1}-a_{n}|=|{\tfrac {1}{2}}(1-a_{n}^{2})-{\tfrac {1}{2}}(1-a_{n-1}^{2})|={\tfrac {1}{2}}|a_{n}^{2}-a_{n-1}^{2}|={\tfrac {1}{2}}|a_{n}+a_{n-1}|\,|a_{n}-a_{n-1}|\leq {\tfrac {1}{2}}|a_{n}-a_{n-1}|}$,

wobei die letzte Abschätzung aus der Dreiecksungleichung

${\displaystyle |a_{n}+a_{n-1}|\leq |a_{n}|+|a_{n-1}|\leq 1}$

folgt, da die einzelnen Folgenglieder durch ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}}$ beschränkt sind. Wendet man die Ungleichung ${\displaystyle n}$-mal an, erhält man mit ${\displaystyle q={\tfrac {1}{2}}}$

${\displaystyle |a_{n+1}-a_{n}|\leq q^{n}|a_{1}-a_{0}|=q^{n+1}}$.

Allgemein gilt nun für ${\displaystyle m>n}$

${\displaystyle |a_{m}-a_{m-1}|\leq q|a_{m-1}-a_{m-2}|\leq \cdots \leq q^{m-n-1}|a_{n+1}-a_{n}|}$

und durch wiederholte Anwendung der Dreiecksungleichung sowie der geometrischen Summenformel

${\displaystyle |a_{m}-a_{n}|\leq \sum _{i=0}^{m-n-1}q^{i}|a_{n+1}-a_{n}|\leq {\frac {1-q^{m-n}}{1-q}}q^{n+1}\leq {\frac {1}{1-q}}q^{n+1}=2q^{n+1}=q^{n}<\varepsilon }$

für alle ${\displaystyle n,m>N={\tfrac {\ln \varepsilon }{\ln q}}}$. Damit ist die Folge ${\displaystyle (a_{n})}$ eine Cauchy-Folge und somit konvergent.

Cauchy-Kriterium und Vollständigkeit

Es besteht ein enger Zusammenhang zwischen dem Cauchy-Kriterium und der Vollständigkeit der reellen und komplexen Zahlen. Ein metrischer Raum ist per Definition vollständig, wenn jede Cauchy-Folge von Elementen des Raums in ihm konvergiert. Demzufolge besagt der „Dann-Teil“ des Cauchy-Kriteriums, dass die reellen bzw. komplexen Zahlen vollständig sind. Das Cauchy-Kriterium kann somit als Vollständigkeitsaxiom für die reellen oder komplexen Zahlen herangezogen werden.

Beweis

Ist ${\displaystyle \left(a_{n}\right)}$ eine konvergente Folge mit Grenzwert ${\displaystyle a}$, so muss für beliebig kleines ${\displaystyle \varepsilon >0}$ nach der Definition der Konvergenz ${\textstyle |a-a_{n}|<\varepsilon /2}$ und ${\textstyle |a-a_{m}|<\varepsilon /2}$ für hinreichend große ${\displaystyle n}$ und ${\displaystyle m}$ sein. Mit der Dreiecksungleichung folgt hieraus ${\displaystyle |a_{n}-a_{m}|=|(a-a_{m})-(a-a_{n})|\leq |a-a_{m}|+|a-a_{n}|<\varepsilon .}$ Also ist die Cauchy-Bedingung erfüllt.

Der Beweis der Rückrichtung hängt von der Wahl des Vollständigkeitsaxioms ab. Wird das Cauchy-Kriterium selbst als Vollständigkeitsaxiom gesetzt, so muss nichts gezeigt werden. Wird der Satz von Bolzano-Weierstraß als Vollständigkeitsaxiom zugrunde gelegt und ist ${\displaystyle (a_{n})}$ eine Cauchy-Folge, dann kann man zu ${\displaystyle \varepsilon =1}$ einen Index ${\displaystyle N\in \mathbb {N} }$ finden, sodass

${\displaystyle |a_{n}|=|a_{n}-a_{N}+a_{N}|\leq |a_{n}-a_{N}|+|a_{N}|\leq 1+|a_{N}|}$

für alle ${\displaystyle n\geq N}$ ist. Also ist die Cauchy-Folge durch

${\displaystyle \max\{|a_{1}|,|a_{2}|,\ldots ,|a_{N-1}|,1+|a_{N}|\}}$

beschränkt. Der Satz von Bolzano-Weierstraß besagt nun, dass die Folge ${\displaystyle (a_{n})}$ einen Häufungspunkt ${\displaystyle a}$ besitzt. Bezeichnet ${\displaystyle (a_{n_{i}})_{i\in \mathbb {N} }}$ eine Teilfolge, die gegen ${\displaystyle a}$ konvergiert, ergibt sich mit

${\displaystyle |a_{n}-a|\leq |a_{n}-a_{n_{i}}|+|a_{n_{i}}-a|}$,

dass ${\displaystyle a}$ der Grenzwert der gesamten Folge sein muss.

Verallgemeinerung

Allgemeiner kann das Cauchy-Kriterium auch zur Untersuchung der Konvergenz von Folgen von Elementen eines vollständigen metrischen Raums ${\displaystyle (X,d)}$ verwendet werden. Eine Folge ${\displaystyle (x_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ von Elementen ${\displaystyle x_{n}\in X}$ konvergiert genau dann gegen einen Grenzwert in der Menge ${\displaystyle X}$, wenn sie eine Cauchy-Folge bezüglich der Metrik ${\displaystyle d}$ ist, wenn also gilt:

${\displaystyle \forall \varepsilon >0\quad \exists N\in \mathbb {N} \quad \forall m,n\geq N\colon \quad d(x_{m},x_{n})<\varepsilon }$.

In einem nicht vollständigen metrischen Raum bildet die Cauchy-Bedingung nur eine notwendige Bedingung für die Konvergenz einer Folge, das heißt: ist eine gegebene Folge keine Cauchy-Folge, so divergiert sie.

Kriterium

Eine Reihe ${\textstyle \sum _{k=1}^{\infty }a_{k}=a_{1}+a_{2}+\ldots }$ mit reellen oder komplexen Summanden ${\displaystyle a_{k}}$ konvergiert genau dann, wenn folgende Bedingung erfüllt ist: Zu jedem ${\displaystyle \varepsilon >0}$ gibt es einen Index ${\displaystyle N}$, so dass jede Summe, die aus (beliebig vielen) Folgengliedern ab diesem Index gebildet wird, vom Betrag her kleiner als ${\displaystyle \varepsilon }$ ist. Formell liest sich diese Bedingung als

${\displaystyle \forall \varepsilon >0\quad \exists N\in \mathbb {N} \quad \forall m>n\geq N\colon \quad |a_{n+1}+a_{n+2}+\ldots +a_{m}|<\varepsilon .}$

Beispiele

Die Reihe ${\displaystyle 1+{\tfrac {1}{4}}+{\tfrac {1}{9}}+{\tfrac {1}{16}}+\ldots }$ konvergiert, da für ${\displaystyle N>{\tfrac {1}{\varepsilon }}}$ gilt:

${\displaystyle \left|\sum _{k=n+1}^{m}{\frac {1}{k^{2}}}\right|<\left|\sum _{k=n+1}^{m}{\frac {1}{k(k-1)}}\right|=\left|\sum _{k=n+1}^{m}\left({\frac {1}{k-1}}-{\frac {1}{k}}\right)\right|={\frac {1}{n}}-{\frac {1}{m}}<{\frac {1}{n}}\leq {\frac {1}{N}}<\varepsilon }$.

Hingegen divergiert die harmonische Reihe ${\displaystyle 1+{\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{3}}+{\tfrac {1}{4}}+\ldots }$, denn wählt man ${\displaystyle \varepsilon ={\tfrac {1}{2}}}$, ${\displaystyle N}$ beliebig, ${\displaystyle n\geq N}$ und ${\displaystyle m=2n}$, so gilt immer

${\displaystyle \left|\sum _{k=n+1}^{m}{\frac {1}{k}}\right|=\left|{\frac {1}{n+1}}+\ldots +{\frac {1}{2n}}\right|\geq n\cdot {\frac {1}{2n}}={\frac {1}{2}}\geq \varepsilon }$.

Beweis

Das Cauchy-Kriterium für Reihen folgt aus dem Cauchy-Kriterium für Folgen: Man wendet das Cauchy-Kriterium für Folgen auf die Folge ${\displaystyle (s_{n})}$ der Partialsummen an und benutzt den Zusammenhang

${\displaystyle |s_{m}-s_{n}|=|(a_{1}+\ldots +a_{m})-(a_{1}+\ldots +a_{n})|=|a_{n+1}+\ldots +a_{m}|}$.

Verallgemeinerung

Allgemeiner lässt sich das Cauchy-Kriterium auch für Reihen von Vektoren aus einem vollständigen normierten Raum ${\displaystyle (V,\|\cdot \|)}$ fassen:

Eine Reihe ${\textstyle \sum _{k=1}^{\infty }v_{k}}$ von Vektoren ${\displaystyle v_{k}\in V}$ konvergiert genau dann gegen einen Grenzwert in ${\displaystyle V}$, wenn gilt:

${\displaystyle \forall \varepsilon >0\quad \exists N\in \mathbb {N} \quad \forall m>n\geq N\colon \quad \|v_{n+1}+v_{n+2}+\ldots +v_{m}\|<\varepsilon }$.