Choquet-Rand

Der Choquet-Rand, benannt nach Gustave Choquet, ist ein Begriff aus der mathematischen Theorie der Banachalgebren. Es handelt sich dabei um einen Rand einer kommutativen Banachalgebra, der stets im Schilow-Rand enthalten ist.

Definition

Es sei $X$ ein kompakter Hausdorffraum und $C (X)$ die Banachalgebra der stetigen Funktionen $X \to ℂ$ mit der Supremumsnorm $‖ \cdot ‖_{\infty}$ . Eine Funktionenalgebra über $X$ ist eine Unteralgebra $A \subset C (X)$ , die die konstanten Funktionen enthält und die Punkte trennt, das heißt, für zwei verschiedene Punkte $x, y \in X$ gibt es ein $f \in A$ mit $f (x) ≠ f (y)$ .

Es sei weiter $‖ \cdot ‖$ eine Algebrennorm auf $A$ , $A^{*}$ sei der zugehörige Dualraum und schließlich

A_{1}^{*} := {f \in A ∣ ‖ f ‖ = f (1) = 1}

der sogenannte Zustandsraum von $A$ , wobei mit 1 hier auch die konstante Funktion 1 bezeichnet sei, die ja definitionsgemäß in $A$ enthalten ist und dort die Rolle eines Einselements spielt. Dies ist eine konvexe, schwach-*-kompakte Menge in $A^{*}$ und besitzt daher nach dem Satz von Krein-Milman viele Extremalpunkte. Es sei $e x t (A_{1}^{*})$ die Menge dieser Extremalpunkte.

Für jedes $x \in X$ ist die Punktauswertung $δ_{x} : A \to ℂ, δ_{x} (f) := f (x)$ offenbar ein Element aus $A_{1}^{*}$ . Wir interessieren uns nun für diejenigen Punkte $x \in X$ , für die $δ_{x}$ sogar ein Extremalpunkt des Zustandsraums ist:

$χ A := {x \in X ∣ δ_{x} \in e x t (A_{1}^{*})}$ heißt Choquet-Rand von $A$ .

Ist $A$ eine beliebige kommutative Banachalgebra mit Einselement und ist $X_{A}$ ihr Gelfand-Raum, so definiert man $χ A$ als den Choquet-Rand der Funktionenalgebra der Gelfand-Transformierten in $C (X_{A})$ . Die letzte Definition kann in konstruierten Fällen in Konflikt zur ersten geraten, denn ist eine kommutative Banachalgebra $A$ auch als eine Funktionenalgebra in einer Algebra $C (X)$ realisiert, so muss $X$ nicht notwendigerweise der Gelfand-Raum von $A$ sein.

Der Choquet-Rand ist ein Rand

Ist $X$ ein kompakter Hausdorffraum und $A \subset C (X)$ eine Funktionenalgebra, gilt

$χ A ≠ ∅︀$ , der Choquet-Rand ist nicht leer.
$χ A$ ist ein Rand für $A$
$\overline{χ A} = \partial A$ , das heißt, der Choquet-Rand liegt dicht im Schilow-Rand.

Beziehung zum Bishop-Rand

Ist $X$ ein kompakter Hausdorffraum und $A \subset C (X)$ eine abgeschlossene Funktionenalgebra, so stimmt der Bishop-Rand mit dem Choquet-Rand überein und ist eine G_δ-Menge.

Beispiele

Ist $X$ ein kompakter Hausdorffraum, so ist $χ C (X) = X$ und stimmt daher mit dem Schilow-Rand überein. Es gibt Beispiele für Räume $X$ , für die der Bishop-Rand von $C (X)$ leer ist, z. B. $X = [0, 1]^{ℝ}$ .
Das Standardbeispiel und Vorbild für die Entwicklung des Randbegriffs ist die Diskalgebra $A (𝔻) \subset C (𝔻)$ auf dem Einheitskreis $𝔻 := {z \in ℂ ∣ | z | \leq 1}$ . Hier stimmen ebenfalls Choquet-Rand und Schilow-Rand überein und sind gleich dem topologischen Rand $\partial 𝔻 := {z \in ℂ ∣ | z | = 1}$ .

Wir geben nun eine Funktionenalgebra an, für die der Choquet-Rand nicht abgeschlossen ist. Dazu sei

X := 𝔻 \cup [0, 1] \cdot e_{3} \subset ℝ^{3}

mit der Relativtopologie.

X

ist ein kompakter Raum und

C (X)

enthält die Funktionenalgebra

A := {f \in C (X) ∣ f |_{i n t (𝔻)} ist holomorph}

,

wobei

i n t (𝔻)

das Innere des Einheitskreises bezeichne. Für den Schilow-Rand

\partial A

zeigt man

\partial A = \partial 𝔻 \cup [0, 1] \cdot e_{3}

.

Im Artikel zum Bishop-Rand wurde begründet, dass dieser gleich

\partial 𝔻 \cup (0, 1] \cdot e_{3} = \partial A ∖ {(0, 0, 0)}

ist. Nach obiger Beziehung zwischen Bishop-Rand und Choquet-Rand ist das aber auch gleich dem Choquet-Rand, der in diesem Beispiel also echt im Schilow-Rand enthalten ist. Wie nach obigem Satz nicht anders zu erwarten, ist hier

\overline{χ A} = \partial A

.

Darstellende Maße

Der Choquet-Rand lässt sich durch sogenannte darstellende Maße charakterisieren, was die Verbindung zur Choquet-Theorie schlägt. Für einen kompakten Hausdorffraum $X$ sei $M (X)$ Banachraum der regulären komplexen Maße auf $X$ mit der totalen Variation als Norm. Ein Maß $μ \in M (X)$ heißt ein darstellendes Maß für ein $φ \in A^{*}$ , falls

‖ φ ‖ = ‖ μ ‖

und

φ (f) = \int_{X} f (x) d μ (x)

für alle

f \in A

.

Ist zum Beispiel $φ = δ_{x}$ , so ist das Einpunktmaß $ε_{x}$ ein darstellendes Maß, denn

‖ δ_{x} ‖ = 1 = ‖ ε_{x} ‖

und

δ_{x} (f) = f (x) = \int_{X} f (y) d ε_{x} (y)

.

Es könnte aber weitere darstellende Maße geben. Ist zum Beispiel $A = A (𝔻) \subset C (𝔻)$ die Diskalgebra, so gilt für alle $f \in A (𝔻)$ nach der cauchyschen Integralformel

δ_{0} (f) = f (0) = \frac{1}{2 π i} \int_{\partial 𝔻} \frac{f (z)}{z} d z = \int_{𝔻} f (z) d μ (z)

mit einem auf $\partial 𝔻$ konzentrierten Maß $μ$ . In diesem Fall ist das darstellende Maß also nicht eindeutig. Ein ähnliches Argument zeigt, dass das darstellende Maß für kein $δ_{z}, | z | < 1$ eindeutig ist. Eine Eindeutigkeit des darstellenden Maßes liegt nur für Funktionale $δ_{z}$ mit $| z | = 1$ vor. Diese Situation gilt auch im allgemeinen Fall, genauer gilt folgender Satz:

Ist $X$ ein kompakter Hausdorffraum und $A \subset C (X)$ eine Funktionenalgebra, so sind folgende Aussagen über $x \in X$ äquivalent:

$x \in χ A$
Das darstellende Maß für $δ_{x}$ ist eindeutig bestimmt.

Abgeschlossene Funktionenalgebren

Fordert man von der Funktionenalgebra $A \subset C (X)$ zusätzlich, dass diese bezüglich der Supremumsnorm abgeschlossen ist, so sind folgende Aussagen über ein $x \in X$ äquivalent:

$x \in χ A$
Zu $0 < α < β < 1$ und jeder offenen Umgebung $U$ von $x$ gibt es ein $f \in A$ mit $‖ f ‖_{\infty} = 1$ , $| f (x) | > β$ und $| f (y) | < α$ für alle $y \in X ∖ U$ .
Zu jeder offenen Umgebung $U$ von $x$ gibt es ein $f \in A$ mit $‖ f ‖_{\infty} = 1$ , $| f (x) | > \frac{3}{4}$ und $| f (y) | < \frac{1}{4}$ für alle $y \in X ∖ U$ .
Zu jeder offenen Umgebung $U$ von $x$ gibt es ein $f \in A$ mit $‖ f ‖_{\infty} = 1 = | f (x) |$ und $| f (y) | < 1$ für alle $y \in X ∖ U$ .
Es gibt eine Familie $(f_{α})_{α \in I}$ in $A$ mit ${x} = ⋂_{α \in I} {y \in X ∣ | f_{α} (y) | = ‖ f ‖_{\infty}}$ .

Anwendung

Mit Hilfe des Choquet-Randes kann man folgenden auf Robert Phelps zurückgehenden Satz beweisen:

Es seien $X$ ein kompakter Hausdorffraum und $A \subset C (X)$ eine Funktionenalgebra. Ist $T : A \to A$ eine lineare uns surjektive Isometrie mit $T (1) = 1$ , so ist $T$ multiplikativ, das heißt, es gilt $T (f g) = T (f) T (g)$ für alle $f, g \in A$ .

Das zentrale Argument im Beweis besteht darin, die Multiplikativität von Punktauswertungen $δ_{x}$ für Punkte $x$ aus dem Choquet-Rand zu verwenden. Damit zeigt man, dass $T (f g)$ und $T (f) T (g)$ auf allen Punkten des Choquet-Randes übereinstimmen und daher gleich sein müssen, denn der Choquet-Rand ist ein Rand. Das ist im unten genannten Lehrbuch von R. Larsen ausgeführt.

Einzelnachweise

↑ Ronald Larsen: Banach Algebras, Marcel Dekker (1973), ISBN 0-8247-6078-6, Definition 9.4.2
↑ Ronald Larsen: Banach Algebras, Marcel Dekker (1973), ISBN 0-8247-6078-6, Korollar 9.4.1
↑ E. Bishop: A minimal boundary for function algebras, Pacific Journal of Mathematics (1959), Band 9, Seiten 629–642
↑ Ronald Larsen: Banach Algebras, Marcel Dekker (1973), ISBN 0-8247-6078-6, Theorem 9.7.2
↑ R. R. Phelps: Lectures on Choquet's Theorem, van Nostrand (1966), Korollar 8.2
↑ Ronald Larsen: Banach Algebras, Marcel Dekker (1973), ISBN 0-8247-6078-6, Beispiel 9.3.5
↑ Ronald Larsen: Banach Algebras, Marcel Dekker (1973), ISBN 0-8247-6078-6, Theorem 9.6.7
↑ Ronald Larsen: Banach Algebras, Marcel Dekker (1973), ISBN 0-8247-6078-6, Theorem 9.7.1
↑ Ronald Larsen: Banach Algebras, Marcel Dekker (1973), ISBN 0-8247-6078-6, Theorem 9.5.1

[1] Ronald Larsen: Banach Algebras, Marcel Dekker (1973), ISBN 0-8247-6078-6, Definition 9.4.2

[2] Ronald Larsen: Banach Algebras, Marcel Dekker (1973), ISBN 0-8247-6078-6, Korollar 9.4.1

[3] E. Bishop: A minimal boundary for function algebras, Pacific Journal of Mathematics (1959), Band 9, Seiten 629–642

[4] Ronald Larsen: Banach Algebras, Marcel Dekker (1973), ISBN 0-8247-6078-6, Theorem 9.7.2

[5] R. R. Phelps: Lectures on Choquet's Theorem, van Nostrand (1966), Korollar 8.2

[6] Ronald Larsen: Banach Algebras, Marcel Dekker (1973), ISBN 0-8247-6078-6, Beispiel 9.3.5

[7] Ronald Larsen: Banach Algebras, Marcel Dekker (1973), ISBN 0-8247-6078-6, Theorem 9.6.7

[8] Ronald Larsen: Banach Algebras, Marcel Dekker (1973), ISBN 0-8247-6078-6, Theorem 9.7.1

[9] Ronald Larsen: Banach Algebras, Marcel Dekker (1973), ISBN 0-8247-6078-6, Theorem 9.5.1