Cuntz-Algebra

In der Funktionalanalysis sind die sogenannten Cuntz-Algebren $𝒪_{n}$ (nach Joachim Cuntz) eine spezielle Klasse von C*-Algebren, die von n paarweise orthogonalen Isometrien auf einem separablen Hilbertraum erzeugt werden.

Definition

Sei $H$ ein separabler unendlichdimensionaler Hilbertraum. Für eine natürliche Zahl $n \geq 2$ seien $S_{1}, \dots, S_{n} \in ℒ (H)$ Isometrien auf H, d. h., es gilt $S_{i}^{*} S_{i} = 1$ für $1 \leq i \leq n$ . Zudem sollen sie die Eigenschaft

\sum_{i = 1}^{n} S_{i} S_{i}^{*} = 1

erfüllen, die Bildprojektoren sind also paarweise orthogonal. Für den Fall $n = \infty$ fordert man eine Folge von Isometrien $S_{1}, S_{2}, S_{3}, \dots$ mit der Eigenschaft

\sum_{i = 1}^{k} S_{i} S_{i}^{*} \leq 1

für alle

k \in ℕ .

Man definiert nun

𝒪_{n} = C^{*} (S_{1}, \dots, S_{n})

als die von $S_{1}, \dots, S_{n}$ erzeugte C*-Unteralgebra in $ℒ (H)$ . Um eine einheitliche Notation zu wahren, behält man diese Schreibweise auch im Fall $n = \infty$ bei.

Eigenschaften

Die Cuntz-Algebra $𝒪_{n}$ hat eine Reihe von bemerkenswerten Eigenschaften, sie ist ein Beispiel für eine separable, unitale und einfache C*-Algebra.

Eindeutigkeit

Sind ${\tilde{S}}_{1}, \dots, {\tilde{S}}_{n} \in ℒ (H)$ weitere Isometrien mit $\sum_{i = 1}^{n} {\tilde{S}}_{i} {\tilde{S}}_{i}^{*} = 1$ , so folgt

C^{*} (S_{1}, \dots, S_{n}) ≃ C^{*} ({\tilde{S}}_{1}, \dots, {\tilde{S}}_{n}) .

Die Isomorphieklasse hängt also nicht von der Wahl der Erzeuger ab. Die Schreibweise $𝒪_{n}$ , die nicht auf die Erzeuger $S_{1}, \dots, S_{n}$ zurückgreift, wird damit gerechtfertigt.

Eine besondere Rolle bei der Untersuchung von $𝒪_{n}$ spielt die C*-Unteralgebra $ℱ^{n}$ , die von Elementen der Form $S_{i_{1}} S_{i_{2}} \dots S_{i_{k}} S_{j_{k}}^{*} S_{j_{k - 1}}^{*} \dots S_{j_{1}}^{*}$ mit $k \in ℕ, 1 \leq i_{l}, j_{l} \leq n$ erzeugt wird. Man kann zeigen, dass diese zur UHF-Algebra zur übernatürlichen Zahl $n^{\infty}$ isomorph ist. Setzt man einen Erzeuger fest, zum Beispiel $V = S_{1}$ und schreibt $V^{- 1} = S_{1}^{*}$ , so existieren Abbildungen $F_{i} : 𝒪_{n} \to ℱ^{n}$ , sodass jedes $A \in 𝒪_{n}$ dargestellt werden kann als

A = \sum_{i = - \infty}^{- 1} V^{i} F_{i} (A) + F_{0} (A) + \sum_{i = 1}^{\infty} F_{i} (A) V^{i}

.

Ein wichtiger Schritt im Beweis obiger Eindeutigkeitseigenschaft ist es, diese $F_{i} (A)$ analog zu Fourierkoeffizienten in einer Laurentreihe zu deuten. Dadurch ist es möglich zu zeigen, dass auf dem rein algebraischen Erzeugnis von $S_{1}, \dots, S_{n}, S_{1}^{*}, \dots, S_{n}^{*}$ nur eine C*-Norm existieren kann, womit die Behauptung gezeigt ist.

Einfachheit

Eine C*-Algebra heißt einfach, falls sie keine nicht-trivialen abgeschlossenen zweiseitigen Ideale besitzt. $𝒪_{n}$ ist sogar im algebraischen Sinne einfach.

Satz: Sei $0 \neq X \in 𝒪_{n}$ . Dann existieren $A, B \in 𝒪_{n}$ mit $A X B = 1$ .

Außerdem sind Cuntz-Algebren in folgendem Sinne mit einfachen, unitalen, unendlichen C*-Algebren verwandt.

Satz: Sei $𝒜$ eine einfache, unendliche, unitale C*-Algebra. Dann existiert eine C*-Unteralgebra von $𝒜$ , die isomorph zu $𝒪_{\infty}$ ist. Für endliche $n \geq 2$ existiert eine C*-Unteralgebra $ℬ \subset 𝒜$ , die ein Ideal $𝒥$ enthält, sodass $𝒪_{n} ≃ ℬ / 𝒥$ .

Klassifikation

Es sei $𝒪_{2} = C^{*} (S_{1}, S_{2})$ wie oben. Definiert man ${\hat{S}}_{1} = S_{1}^{2}, {\hat{S}}_{2} = S_{1} S_{2}, {\hat{S}}_{3} = S_{2}$ , so sind ${\hat{S}}_{1}, {\hat{S}}_{2}, {\hat{S}}_{3}$ ebenfalls Isometrien mit ${\hat{S}}_{1} {\hat{S}}_{1}^{*} + {\hat{S}}_{2} {\hat{S}}_{2}^{*} + {\hat{S}}_{3} {\hat{S}}_{3}^{*} = 1$ und es gilt offensichtlich $C^{*} ({\hat{S}}_{1}, {\hat{S}}_{2}, {\hat{S}}_{3}) \subset C^{*} (S_{1}, S_{2})$ .

Man erhält auf diese Weise die Inklusionen

𝒪_{\infty} \subset 𝒪_{n} \subset 𝒪_{2}

.

Mit K-theoretischen Methoden zeigt man, dass $𝒪_{n}$ und $𝒪_{m}$ nicht isomorph sind, falls $n \neq m$ . Falls $n$ endlich ist, so berechnet sich die $K_{0}$ -Gruppe von $𝒪_{n}$ zu $ℤ_{n - 1}$ . Für den Fall $n = \infty$ ergibt sich $K_{0} = ℤ$ . Da die $K_{0}$ -Gruppe eine Isomorphie-Invariante ist, folgt sofort die Behauptung.

Darstellung als Kreuzprodukt

Auf $ℱ^{n}$ existiert ein *-Automorphismus $Φ$ , sodass $𝒪_{n} ≃ ℱ^{n} ⋊_{Φ} ℤ$ . Da $ℱ^{n}$ als eine UHF-Algebra nuklear ist, folgt aus dieser Darstellung als Kreuzprodukt, dass auch $𝒪_{n}$ nuklear ist.

Literatur

Joachim Cuntz: Simple C*-algebras generated by isometries. (Pdf) In: Comm. Math. Phys. 57. 1977, S. 173–185, abgerufen am 17. April 2012 (englisch).
K. R. Davidson: C*-Algebras by Example, American Mathematical Society (1996), ISBN 0-821-80599-1