Δ-Lemma

Das ${\displaystyle \Delta }$-Lemma ist ein mathematischer Satz aus der kombinatorischen Mengenlehre. Es findet Anwendung bei der Entwicklung der Forcing-Methode.

Aussage

Sei ${\displaystyle D}$ eine Familie von Mengen, und ${\displaystyle d}$ eine weitere Menge. ${\displaystyle D}$ heißt ein ${\displaystyle \Delta }$-System mit Wurzel ${\displaystyle d}$, falls gilt:

• ${\displaystyle \forall x\neq y\in D:x\cap y=d}$, der Schnitt zweier Mengen aus ${\displaystyle D}$ ist also konstant.

Das ${\displaystyle \Delta }$-Lemma besagt nun: Jede überabzählbare Familie endlicher Mengen enthält ein überabzählbares ${\displaystyle \Delta }$-System.

Verallgemeinerung

Das Lemma lässt sich wie folgt verallgemeinern: Seien ${\displaystyle \lambda <\mu }$ Kardinalzahlen mit

• ${\displaystyle \mu }$ ist regulär: ${\displaystyle \mu =cf(\mu )}$
• Für alle ${\displaystyle \alpha <\mu }$ gilt: ${\displaystyle \alpha ^{<\lambda }:=\sup _{\gamma <\lambda }\alpha ^{\gamma }<\mu }$ (siehe Kardinalzahlarithmetik),

dann gibt es für jede Familie ${\displaystyle I}$ mit ${\displaystyle \left|I\right|=\mu }$ und ${\displaystyle \left|a\right|<\lambda }$ für ${\displaystyle a\in I}$ ein ${\displaystyle \Delta }$-System der Mächtigkeit ${\displaystyle \mu }$. Setzt man ${\displaystyle \lambda =\aleph _{0}}$ und ${\displaystyle \mu =\aleph _{1}}$, so erhält man obigen Spezialfall.

Literatur

• Thomas Jech: Set Theory. 3rd millennium edition, revised and expanded, corrected 4th print. Springer, Berlin u. a. 2006, ISBN 3-540-44085-2.
• Kenneth Kunen: Set Theory. An Introduction to Independence Proofs (= Studies in Logic and the Foundations of Mathematics. Bd. 102). North-Holland Publishing Co., Amsterdam u. a. 1980, ISBN 0-444-85401-0.