Delta-Methode

Aussage

Wenn für eine Folge von Zufallsvariablen ${\displaystyle X_{1},\dots ,X_{n}}$ mit zwei endlichen Konstanten ${\displaystyle \mu }$ und ${\displaystyle \sigma ^{2}\geq 0}$

${\displaystyle {{\sqrt {n}}(X_{n}-\mu ){\stackrel {\text{V}}{\;\to \;}}{\mathcal {N}}(0,\sigma ^{2})}}$

gilt, wobei ${\displaystyle {\stackrel {\text{V}}{\;\to \;}}}$ die Konvergenz in Verteilung bezeichnet, dann gilt für eine differenzierbare Funktion ${\displaystyle g}$ mit ${\displaystyle g'(\mu )\neq 0}$:

${\displaystyle {\sqrt {n}}(g(X_{n})-g(\mu )){\stackrel {\text{V}}{\;\to \;}}{\mathcal {N}}(0,\sigma ^{2}(g'(\mu ))^{2})\;.}$

Beispiel

Es sei ${\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{n}}$ eine Folge stochastisch unabhängiger und identisch verteilter Zufallsvariablen mit Erwartungswert ${\displaystyle \mu }$ und Varianz ${\displaystyle 0<\sigma ^{2}<\infty }$. Für die Folge der zufälligen arithmetischen Mittel ${\displaystyle {\bar {X}}_{n}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}X_{i}}$ folgt dann aus dem zentralen Grenzwertsatz der Statistik

${\displaystyle {\sqrt {n}}({\bar {X_{n}}}-\mu ){\stackrel {\text{V}}{\;\to \;}}{\mathcal {N}}(0,\sigma ^{2})}$.

Wenn man sich für die asymptotische Verteilung von ${\displaystyle Y_{n}=\mathrm {e} ^{{\bar {X}}_{n}}}$ interessiert, dann ist ${\displaystyle g(x)=\mathrm {e} ^{x}}$, ${\displaystyle g'(x)=\mathrm {e} ^{x}}$, ${\displaystyle g'(\mu )=\mathrm {e} ^{\mu }}$ und ${\displaystyle (g'(\mu ))^{2}=\mathrm {e} ^{2\mu }}$. Die Delta-Methode ergibt dann

${\displaystyle {\sqrt {n}}(Y_{n}-\mathrm {e} ^{\mu }){\stackrel {\text{V}}{\;\to \;}}{\mathcal {N}}(0,\sigma ^{2}\mathrm {e} ^{2\mu })\;.}$

Verallgemeinerung

Für den Fall ${\displaystyle g'(\mu )=0}$ und ${\displaystyle g''(\mu )\neq 0}$ gibt es eine Verallgemeinerung der Delta-Methode, die Delta-Methode zweiter Ordnung, die besagt, dass

${\displaystyle n(g(X_{n})-g(\mu )){\stackrel {\text{V}}{\;\to \;}}\sigma ^{2}{\frac {g''(\mu )}{2}}Z^{2}\;,}$

wobei ${\displaystyle Z}$ eine standardnormalverteilte Zufallsvariable ist.