Delta-Methode

Die Delta-Methode ist in der asymptotischen Statistik eine Methode um die asymptotische Normalverteilung der Funktion einer asymptotisch normalverteilten Zufallsvariablen zu bestimmen.

Univariater Fall

Aussage

Wenn für eine Folge von Zufallsvariablen $X_{1}, \dots, X_{n}$ mit zwei endlichen Konstanten $μ$ und $σ^{2} \geq 0$

\sqrt{n} (X_{n} - μ) \overset{V}{\to} 𝒩 (0, σ^{2})

gilt, wobei $\overset{V}{\to}$ die Konvergenz in Verteilung bezeichnet, dann gilt für eine differenzierbare Funktion $g$ mit $g^{'} (μ) \neq 0$ :

\sqrt{n} (g (X_{n}) - g (μ)) \overset{V}{\to} 𝒩 (0, σ^{2} (g^{'} (μ))^{2}) .

Beispiel

Es sei $X_{1}, \dots, X_{n}$ eine Folge stochastisch unabhängiger und identisch verteilter Zufallsvariablen mit Erwartungswert $μ$ und Varianz $0 < σ^{2} < \infty$ . Für die Folge der zufälligen arithmetischen Mittel ${\bar{X}}_{n} = \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} X_{i}$ folgt dann aus dem zentralen Grenzwertsatz der Statistik

\sqrt{n} (\bar{X_{n}} - μ) \overset{V}{\to} 𝒩 (0, σ^{2})

.

Wenn man sich für die asymptotische Verteilung von $Y_{n} = e^{{\bar{X}}_{n}}$ interessiert, dann ist $g (x) = e^{x}$ , $g^{'} (x) = e^{x}$ , $g^{'} (μ) = e^{μ}$ und $(g^{'} (μ))^{2} = e^{2 μ}$ . Die Delta-Methode ergibt dann

\sqrt{n} (Y_{n} - e^{μ}) \overset{V}{\to} 𝒩 (0, σ^{2} e^{2 μ}) .

Verallgemeinerung

Für den Fall $g^{'} (μ) = 0$ und $g^{″} (μ) \neq 0$ gibt es eine Verallgemeinerung der Delta-Methode, die Delta-Methode zweiter Ordnung, die besagt, dass

n (g (X_{n}) - g (μ)) \overset{V}{\to} σ^{2} \frac{g^{″} (μ)}{2} Z^{2},

wobei $Z$ eine standardnormalverteilte Zufallsvariable ist.

Multivariater Fall

Für eine Folge $p$ -dimensionaler Zufallsvektoren $𝐗_{1}, \dots, 𝐗_{n}$ gelte

\sqrt{n} (𝐗_{n} - 𝝁) \overset{V}{\to} 𝒩_{p} (𝟎, 𝜮)

mit $𝝁 \in ℝ^{p}$ und einer positiv semidefiniten Matrix $𝜮 \in ℝ^{p \times p}$ . Für eine differenzierbare Funktion $g : ℝ^{p} \to ℝ$ bezeichne $\nabla_{𝝁}$ den Spaltenvektor der partiellen Ableitungen der Funktion $g$ an der Stelle $𝝁$ , der komponentenweise von Null verschieden ist. Dann gilt

\sqrt{n} (g (𝐗_{n}) - g (𝝁)) \overset{V}{\to} 𝒩 (0, \nabla_{𝝁}^{T} 𝜮 \nabla_{𝝁})

.

Funktionale Delta-Methode

Es gibt eine Verallgemeinerung für Funktionen einer unendlich-dimensionalen Zufallsvariable (eines stochastischen Prozesses) durch die funktionale Delta-Methode. Die funktionale Delta-Methode wird manchmal auch als Von-Mises-Methode bezeichnet.

Siehe auch

Fehlerfortpflanzung

Literatur

Anil K. Bera, Malabika Koley: A History of the Delta Method and Some New Results. In: Sankhya B: The Indian Journal of Statistics. Band 85, 2023, doi:10.1007/s13571-023-00305-9.
Gary W. Oehlert: A Note on the Delta Method. In: The American Statistician. Band 46, Nr. 1, 1992, S. 27–29, doi:10.1080/00031305.1992.10475842, JSTOR:2684406.
Aad W. van der Vaart: Asymptotic Statistics (= Cambridge Series in Statistics and Probabilistic Mathematics). Cambridge University Press, Cambridge 1998, ISBN 978-0-521-78450-4, Kap. 3 Delta Method, S. 25–34.

Einzelnachweise

↑ Larry Wasserman: All of Statistics – A Concise Course in Statistical Inference. Springer, New York 2004, ISBN 978-1-4419-2322-6, 5.13 Theorem (The Delta Method), S. 79, doi:10.1007/978-0-387-21736-9.
↑ Larry Wasserman: All of Statistics – A Concise Course in Statistical Inference. Springer, New York 2004, ISBN 978-1-4419-2322-6, 5.14 Example, S. 79, doi:10.1007/978-0-387-21736-9.
↑ Anil K. Bera, Malabika Koley: A History of the Delta Method and Some New Results. In: Sankhya B: The Indian Journal of Statistics. Band 85, 2023, S. 4, doi:10.1007/s13571-023-00305-9.
↑ Larry Wasserman: All of Statistics – A Concise Course in Statistical Inference. Springer, New York 2004, ISBN 978-1-4419-2322-6, 5.15 Theorem (The Multivariate Delta Method), S. 79–80, doi:10.1007/978-0-387-21736-9.
↑ Aad W. van der Vaart: Asymptotic Statistics (= Cambridge Series in Statistics and Probabilistic Mathematics). Cambridge University Press, Cambridge 1998, ISBN 978-0-521-78450-4, Kap. 20 Functional Delta Method, S. 291–303.

[1] Larry Wasserman: All of Statistics – A Concise Course in Statistical Inference. Springer, New York 2004, ISBN 978-1-4419-2322-6, 5.13 Theorem (The Delta Method), S. 79, doi:10.1007/978-0-387-21736-9.

[2] Larry Wasserman: All of Statistics – A Concise Course in Statistical Inference. Springer, New York 2004, ISBN 978-1-4419-2322-6, 5.14 Example, S. 79, doi:10.1007/978-0-387-21736-9.

[3] Anil K. Bera, Malabika Koley: A History of the Delta Method and Some New Results. In: Sankhya B: The Indian Journal of Statistics. Band 85, 2023, S. 4, doi:10.1007/s13571-023-00305-9.

[4] Larry Wasserman: All of Statistics – A Concise Course in Statistical Inference. Springer, New York 2004, ISBN 978-1-4419-2322-6, 5.15 Theorem (The Multivariate Delta Method), S. 79–80, doi:10.1007/978-0-387-21736-9.

[5] Aad W. van der Vaart: Asymptotic Statistics (= Cambridge Series in Statistics and Probabilistic Mathematics). Cambridge University Press, Cambridge 1998, ISBN 978-0-521-78450-4, Kap. 20 Functional Delta Method, S. 291–303.