Dirac-Spinor

Ein Dirac-Spinor ist ein Begriff aus der Mathematik, der nach Paul Dirac benannt ist. Dirac-Spinoren sind Elemente der fundamentalen Darstellung $Δ$ der komplexifizierten Clifford-Algebra $C l i f f (p, q)$ und somit eine bestimmte Gattung von Spinoren (Vektoren). Sie sind ein nützliches Konzept der Quantenphysik.

Häufig als Dirac-Spinoren bezeichnet werden auch Lösungen der Dirac-Gleichung. Diese sind Dirac-Spinorfelder, d. h. jedem Punkt der Raumzeit wird ein vierdimensionaler Dirac-Spinor zugeordnet.

Mathematische Konstruktion

Sei $n = p + q$ .

Die komplexifizierte Clifford-Algebra $C l i f f (p, q)$ ist

isomorph zur Matrizenalgebra $M a t_{2^{k}} (ℂ)$ , falls $n = 2 k$ gerade ist, oder
isomorph zur Matrizenalgebra $M a t_{2^{k - 1}} (ℂ) \oplus M a t_{2^{k - 1}} (ℂ)$ , falls $n = 2 k - 1$ ungerade ist.

In jedem Fall hat sie eine kanonische $2^{k}$ -dimensionale Darstellung, die also für alle Signaturen $(p, q)$ mit $n = p + q$ existiert und auch eine Darstellung der Spin-Gruppe $S p i n (p, q)$ ist. Diese Darstellung heißt Spinor-Darstellung, die Vektoren dieses Darstellungsraumes werden als Dirac-Spinoren bezeichnet.

In geraden Dimensionen $n = 2 k$ ist die Spinor-Darstellung, als Darstellung von $S p i n (p, q)$ betrachtet, reduzibel. Sie kann zerlegt in zwei Weyl-Spinoren der Dimension $2^{k - 1}$ werden, es gibt also zwei Darstellungsräume, so dass $Δ_{2 k} = Δ_{2 k}^{+} \oplus Δ_{2 k}^{-}$ . Die Darstellungen mit den Darstellungsräumen $Δ_{2 k}^{+}, Δ_{2 k}^{-}$ und auch für ungerade Dimensionen $n = 2 k + 1$ mit dem Raum $Δ_{2 k + 1}$ sind irreduzibel.

Anwendung in der Elementarteilchenphysik

Dirac-Spinoren in 3+1 Raum-Zeit-Dimensionen, also zu $C l i f f (3, 1)$ , dienen in der Quantenelektrodynamik zur mathematischen Beschreibung von Fermionen mit Spin 1/2. Zu diesen Dirac-Fermionen gehören im Standardmodell der Teilchenphysik sämtliche fundamentalen Fermionen. In diesem Fall sind die Dirac-Spinoren vierdimensional, gehören zu einer Darstellung der Lorentzgruppe und sind Lösungen der Dirac-Gleichung. In String- und Branentheorien werden auch Dirac-Spinoren in höheren Dimensionen betrachtet.

Dagegen wurden Majorana-Fermionen bisher nicht gefunden, aber von manchen vereinheitlichten Feldtheorien vorhergesagt. Sie entsprechen reellen Darstellungen der Cliffordalgebren.

Literatur

Thomas Friedrich: Dirac-Operatoren in der Riemannschen Geometrie. Vieweg Verlag, ISBN 978-3-528-06926-1.
Michael E. Peskin, Daniel V. Schroeder: An Introduction to Quantum Field Theory. Addison-Wesley, 1995, ISBN 978-0-201-50397-5 (englisch).
Pierre Ramond: Field Theory. A Modern Primer. Addison-Wesley, 1990, ISBN 978-0-201-54611-8 (englisch).

Einzelnachweise

↑ Thomas Friedrich: Dirac-Operatoren in der Riemannschen Geometrie: mit einem Ausblick auf die Seiberg-Witten-Theorie (= Advanced lectures in mathematics). Vieweg, Braunschweig Wiesbaden 1997, ISBN 978-3-528-06926-1, S. 22 ff.

[1] Thomas Friedrich: Dirac-Operatoren in der Riemannschen Geometrie: mit einem Ausblick auf die Seiberg-Witten-Theorie (= Advanced lectures in mathematics). Vieweg, Braunschweig Wiesbaden 1997, ISBN 978-3-528-06926-1, S. 22 ff.