Dirichlet-Bedingung

Die Dirichlet-Bedingung, auch Satz von Dirichlet genannt, ist nach Peter Gustav Lejeune Dirichlet benannt und gibt an, wann die Fourierreihe punktweise gegen die Ausgangsfunktion konvergiert.

Aussage

Sei ${\displaystyle f}$ eine im Intervall ${\displaystyle [-T/2,T/2]}$ definierte Funktion, die folgende Eigenschaften erfüllt:

1. Das Intervall ${\displaystyle [-T/2,T/2]}$ lässt sich in endlich viele Teilintervalle zerlegen, in denen ${\displaystyle f}$ stetig und monoton ist.
2. Die (endlich vielen) Unstetigkeitsstellen sind alle von 1. Art, das heißt, es existieren rechts- und linksseitiger Grenzwert, ${\displaystyle f(t_{0}+)}$ und ${\displaystyle f({t_{0}}-)}$.

Dann konvergiert die Fourierreihe in jedem ${\displaystyle t\in [-T/2,T/2]}$ gegen

${\displaystyle {\frac {a_{0}}{2}}+\sum _{n=1}^{\infty }(a_{n}\cdot \cos(n\omega t)+b_{n}\cdot \sin(n\omega t))={\begin{cases}f(t),&{\mbox{wenn }}f{\mbox{ in t stetig}}\\(f(t+)+f(t-))/2,&{\mbox{wenn }}f{\mbox{ in t unstetig}}\end{cases}}}$.

Quellen

• Konrad Königsberger: Analysis 2. Springer-Verlag, Berlin/Heidelberg, 2000, ISBN 3-540-43580-8.