Dispersionsrelation

Elektronen im Festkörper (Bandstruktur)

In einem Kristall mit periodischer Gitterstruktur kann die Dispersionsrelation für Elektronen durch eine Bandstruktur beschrieben werden:

${\displaystyle E(\mathbf {k} )=E_{0}+{\frac {\hbar ^{2}k^{2}}{2m^{*}}}=\hbar \omega \quad {\text{bzw. }}\omega =\omega _{0}+{\frac {\hbar k^{2}}{2m^{*}}}}$

wobei ${\displaystyle m^{*}}$ die effektive Masse des Elektrons ist.

Plasmonen (Kollektive Schwingungen in einem Plasma)

Für Plasmonen als longitudinale Plasmaschwingungen ist die Dispersionsrelation:

${\displaystyle \omega ={\sqrt {\omega _{p}^{2}+c^{2}k^{2}}}}$

wobei ${\displaystyle c}$ die Lichtgeschwindigkeit und ${\displaystyle \omega _{p}={\sqrt {4\pi n_{e}e^{2}/m_{e}}}}$ die Plasmafrequenz ist, gebildet aus der Elektronendichte ${\displaystyle n_{e}}$, der Elektronenladung ${\displaystyle e}$ und der Elektronenmasse ${\displaystyle m_{e}}$.

Schwerewellen auf einem Meer endlicher Tiefe

Für Meereswellen als Schwerewellen lautet die Dispersionsrelation nach

${\displaystyle \omega =\Omega (k)={\sqrt {gk\tanh(kh)}}\qquad {\text{mit }}\tanh(kh)={\frac {1}{2}}{\frac {{\text{e}}^{kh}-{\text{e}}^{-kh}}{{\text{e}}^{kh}+{\text{e}}^{-kh}}}}$

mit der Schwerebeschleunigung ${\displaystyle g}$ und der Wassertiefe ${\displaystyle h}$. Die Funktion

Tiefwasserwellen

Für Tiefwasserwellen gilt ${\displaystyle kh\gg 1}$ und damit ${\displaystyle \tanh(kh)\approx 1}$. Für diese Wellen nähert sich die Dispersionsrelation zu

${\displaystyle \omega ={\sqrt {gk}}}$

mit der Schwerebeschleunigung ${\displaystyle g}$ und der Wellenzahl ${\displaystyle k}$.

Seichtwasserwellen

Für Seichtwasserwellen der Tiefe ${\displaystyle h}$ gilt ${\displaystyle kh\ll 1}$ und damit ${\displaystyle \tanh(kh)\approx (kh)}$. Für diese Oberflächenwellen beträgt die Dispersionsrelation

${\displaystyle \omega ={\sqrt {gk\tanh(kh)}}\approx {\sqrt {gk\,kh}}={\sqrt {gh}}\,k}$

mit der Schwerebeschleunigung ${\displaystyle g}$ und der Wellenzahl ${\displaystyle k}$. Damit sind sowohl die Phasengeschwindigkeit ${\displaystyle v_{\Omega }}$ und die Gruppengeschwindigkeit ${\displaystyle v_{g}}$ konstant:

${\displaystyle v_{\Omega }={\frac {\omega }{k}}={\sqrt {gh}}\quad {\text{und}}\quad v_{g}={\frac {{\text{d}}\omega }{{\text{d}}k}}={\sqrt {gh}}}$

Im Gegensatz zu Sturmwellen, bei denen die Wasserschichten ab einer Tiefe von etwa 200 m unbewegt bleiben, wird bei einem Tsunami das gesamte Wasservolumen vom Meeresboden bis zur Oberfläche in Bewegung gesetzt. Auf dem offenen Meer können Tsunamis Wellenlängen von 100 bis 300 km erreichen, in seltenen Fällen sogar bis zu 500 km. Die Wellenzahlen ${\displaystyle k=2\pi /\lambda }$ reichen dabei von ${\displaystyle {\text{6,3}}\cdot 10^{-5}{\text{ m}}^{-1}}$ bis ${\displaystyle 10^{-5}{\text{ m}}^{-1}}$. Selbst in Ozeanen mit einer Tiefe von etwa ${\displaystyle h=5.000\,{\text{m}}}$ ist das Produkt ${\displaystyle kh}$ maximal ${\displaystyle kh\sim {\text{0,3}}<1}$. Tsunamis sind also vom Verhalten her Seichtwasserwellen, die Geschwindigkeiten von

${\displaystyle v_{g}={\frac {{\text{d}}\omega }{{\text{d}}k}}={\sqrt {gh}}={\sqrt {{\text{9,81}}\cdot 5.000}}\,{\text{m/s}}=220\,{\text{m/s}}=800\,{\text{km/h}}.}$

erreichen – fast die Geschwindigkeit eines Jumbo-Jets!

Schwerewellen unter dem Einfluss von Oberflächenspannung

Berücksichtigt man bei den Meereswellen zusätzlich die Kapillarwellen, so erweitert sich die Dispersionsrelation zu

${\displaystyle \omega =\Omega (k)={\sqrt {gk+{\frac {\sigma k^{3}}{\rho }}}}}$

Dabei ist ${\displaystyle \sigma }$ die Oberflächenspannung und ${\displaystyle \rho }$ die Dichte des Wassers.

Schwerewellen unter dem Einfluss von Oberflächenspannung und Tiefe

Betrachtet man Meereswellen als Schwerewellen unter dem Einfluss von Oberflächenspannung und Tiefe, so ergänzt sich die Dispersionsrelation zu

${\displaystyle \omega ={\sqrt {\left(gk+{\frac {\sigma k^{3}}{\rho }}\right)\tanh(kh)}}}$

Dabei ist ${\displaystyle \sigma }$ die Oberflächenspannung und ${\displaystyle \rho }$ die Dichte des Wassers.

Elastische Wellen in isotropen Medien

In isotropen Festkörpern existieren zwei Arten von elastischen Wellen mit ihren entsprechenden Dispersionsrelationen:

• Longitudinalwellen (P-Wellen):

${\displaystyle \omega =c_{L}k,\quad c_{L}={\sqrt {\frac {\lambda +2\mu }{\rho }}}={\sqrt {\frac {K+{\frac {4}{3}}\mu }{\rho }}}}$

• Transversalwellen (S-Wellen):

${\displaystyle \omega =c_{T}k,\quad c_{T}={\sqrt {\frac {\mu }{\rho }}}}$

Hierbei sind ${\displaystyle \lambda }$ und ${\displaystyle \mu }$ die Lamé-Konstanten und ${\displaystyle K=\lambda +{\textstyle {\frac {2}{3}}}\mu }$ der Kompressionsmodul.

Biegewellen in Stäben

Für Schwingungen transversal in Richtung ${\displaystyle x}$ für Biegewellen, die sich in einem dünnen Stab in Richtung ${\displaystyle z}$ ausbreiten, gilt:

${\displaystyle \omega =\beta \ k^{2},\quad {\text{mit}}\quad \beta ={\sqrt {\frac {EI_{y}}{\rho A}}}}$

wobei:

${\displaystyle E}$ der Elastizitätsmodul ist,

${\displaystyle I_{y}}$ das axiale Flächenträgheitsmoment ist,

${\displaystyle A}$ die Querschnittsfläche ist.

Die Frequenz oder Dispersionsrelation ist also proportional zum Quadrat des Wellenvektors. In einem unbegrenzten Medium hängt sie linear vom Wellenvektor ab.

Querwellen in Drähten (Saiten)

Die Dispersionsrelation für Torsionswellen in einem zylindrischen Stab lautet:

${\displaystyle \omega =k{\sqrt {\frac {\sigma }{\rho }}}}$

wobei ${\displaystyle \sigma }$ die Spannung des Drahtes ist.

Torsionsschwingungen eines Stabes

Torsionswellen in einem zylindrischen Stab folgen der Dispersionsrelation:

${\displaystyle \omega =k{\sqrt {\frac {G}{\rho }}}=k{\sqrt {\frac {\mu }{\rho }}}}$

wobei ${\displaystyle G}$ der Schubmodul ist, bzw. ${\displaystyle \mu }$ die zweite Lamé-Konstante.

Hörbare Schallwellen

Hörbare Schallwellen sind ein weiteres Beispiel für dispersionsfreie Wellen, da die Dispersionsrelation linear vom Wellenvektor abhängt:

${\displaystyle \omega =k{\sqrt {\gamma {\frac {p}{\rho }}}}}$

bei einem Gasdruck ${\displaystyle p}$ mit der Dichte ${\displaystyle \rho }$ und dem Adiabatenexponent ${\displaystyle \gamma }$.