Doppelspaltexperiment

Orte der Minima und Maxima durch Interferenz der Wellen aus den beiden Spalten

Ein Minimum der Intensität findet man für solche Orte, wo der Gangunterschied ${\displaystyle \Delta s}$ von den Spaltmitten aus ein ungerades Vielfaches der halben Wellenlänge beträgt, also ${\displaystyle \Delta s=\left(\pm {\tfrac {1}{2}},\,\pm {\tfrac {3}{2}},\,\pm {\tfrac {5}{2}},\,\dots \right)\cdot \lambda }$. Dann sind die beiden Teilwellen gegenphasig und löschen sich aus. Das gilt auch für den Fall, dass die Breite der Spaltöffnungen nicht klein gegenüber der Wellenlänge ist. Dann variiert zwar ${\displaystyle s}$ merklich mit der Lage des Punktes innerhalb der Spaltbreite, aber zu jedem Punkt in dem einen Spalt gibt es im Abstand ${\displaystyle a}$ einen Punkt im anderen Spalt, von dem aus die Welle gegenphasig ankommt.

Maxima befinden sich etwa mittig zwischen den Minimumstellen, wo mit ${\displaystyle \Delta s=\left(0,\,\pm 1,\,\pm 2,\,\dots \pm n\right)\cdot \lambda }$ konstruktive Interferenz gegeben ist. Für höhere Beugungsordnungen ${\displaystyle n}$ nehmen die Maximalintensitäten ab, denn die konstruktive Interferenz gilt zwar paarweise für Punkte in beiden Spalten, aber nicht für die Variation der Punktposition innerhalb des Spaltes (s. u.).

Für den Zusammenhang zwischen dem Gangunterschied ${\displaystyle \Delta s}$ und der Position ${\displaystyle x}$ auf dem Schirm liest man aus der Zeichnung ab:

${\displaystyle \arcsin {\frac {\Delta s}{a}}=\arctan {\frac {x}{d}}}$

also für kleine Winkel ungefähr

${\displaystyle {\frac {\Delta s}{a}}={\frac {x}{d}}\,.}$

Damit beträgt die Periode des Streifenmusters ${\displaystyle \lambda \cdot {\frac {d}{a}}}$, wenn der Schirmabstand groß gegenüber dem Spaltabstand ist.

Das Interferenzmuster

Allerdings hat bereits jeder der beiden Einzelspalte ein Beugungsmuster, da für bestimmte Winkel ${\displaystyle \alpha }$ sich z. B. die Wellen aus der oberen und der unteren Hälfte des Einzelspalts der Breite ${\displaystyle b}$ gerade aufheben. Die Intensität des Doppelspaltes ist daher das Produkt zweier Intensitäten: der Beugung am Einzelspalt der Breite ${\displaystyle b}$ und der von zwei punktförmigen Quellen im Abstand ${\displaystyle a}$:

${\displaystyle I(\alpha )=I_{0}\left({\frac {\sin \gamma }{\gamma }}\right)^{2}\cos ^{2}\delta }$

wobei ${\displaystyle \gamma ={\frac {k}{2}}b\sin \alpha }$ der Phasenunterschied der Wellen vom oberen bzw. unterem Rand je eines Spaltes ist, und ${\displaystyle \delta ={\frac {k}{2}}a\sin \alpha }$ der Phasenunterschied zwischen den beiden Teilwellen aus beiden Spalten.

Dabei ist ${\displaystyle \alpha }$ der Beobachtungswinkel, ${\displaystyle b}$ die Spaltbreite, ${\displaystyle a}$ der Spaltabstand, ${\displaystyle k=2\pi /\lambda }$ die Wellenzahl.

Einfluss von Spaltgeometrie und Wellenlänge

Setzt man die Ausdrücke für ${\displaystyle \gamma }$ und ${\displaystyle \delta }$ in die Gleichung des Interferenzmusters ein, so werden die Einflüsse von Spaltgeometrie und Wellenlänge des einfallenden Lichtes auf das Aussehen des Interferenzmusters deutlich:

${\displaystyle I(\alpha )=I_{0}\cdot \left({\frac {\sin \left({\frac {k}{2}}b\sin \alpha \right)}{{\frac {k}{2}}b\sin \alpha }}\right)^{\!2}\cdot \cos ^{2}\left({\frac {k}{2}}a\sin \alpha \right)}$

mit ${\displaystyle k=2\pi /\lambda }$.

• Eine Änderung der Spaltbreite ${\displaystyle b}$ führt zu einer Änderung der Lage der Extrema des Einfachspaltes, dessen Intensitätsverteilung (im Bild grau) die Hüllkurve der Intensitätsverteilung des Doppelspalts bildet (im Bild rot)

→ Je breiter der Spalt, desto enger wird die Hüllkurve

• Eine Änderung des Spaltabstandes ${\displaystyle a}$ führt zu einer Änderung der Lage der Extrema des Doppelspalts innerhalb der konstant bleibenden Hüllkurve

→ Je größer der Spaltabstand, desto enger liegen die Extrema des Doppelspalts beieinander

• Eine Änderung der Wellenlänge ${\displaystyle \lambda }$ wirkt sich sowohl auf die Hüllkurve als auch auf die Intensitätsverteilung des Doppelspalts aus

→ Je größer die Wellenlänge, desto breiter werden Hüllkurve und die Interferenzabstände des Doppelspalts

Jönssons Doppelspaltexperiment mit Elektronen

Für sein Elektronen-Doppelspaltexperiment verwendete Claus Jönsson Elektronen, die auf eine Spannung von etwa ${\displaystyle U={\text{50 kV}}}$ beschleunigt wurden und bei einem Impuls p eine de-Broglie-Wellenlänge ${\displaystyle \lambda _{\text{dB}}}$ von rund 0,05 Å besaßen:

${\displaystyle {\tfrac {p^{2}}{2m}}={\tfrac {h^{2}}{2m\lambda _{\text{dB}}^{2}}}=eU\quad \Rightarrow \quad \lambda _{\text{dB}}={\sqrt {\tfrac {h^{2}}{2meU}}}\approx 5\,{\text{pm}},}$

wobei h = 6,626·10⁻³⁴ Js die Planck-Konstante, m = 9,1·10⁻³¹ kg die Masse der Elektronen und e = 1,6·10⁻¹⁹ As die Elektronenladung sind. Da Elektronen keine transparenten Materialien durchdringen können, mussten die Spalte vollständig materiefrei sein. Hierzu entwickelte Jönsson ein aufwendiges Herstellungsverfahren, bei dem in eine dünne Kupferfolie Doppelspalte mit Breiten von etwa 0,5 μm und Spaltabständen von etwa ${\displaystyle d\approx 2\mu {\text{m}}}$ eingebracht wurden.

Um eine ausreichende Kohärenz des Elektronenstrahls zu gewährleisten, wurde dieser vor dem Doppelspalt durch elektrostatische Linsensysteme stark kollimiert. Die Interferenzstreifen entstanden in einer Beobachtungsebene, die sich etwa ${\displaystyle l={\text{30 cm}}}$ hinter den Spalten befand, und wiesen zunächst nur einen Abstand von etwa ${\displaystyle x\approx {\text{750 nm}}}$ auf:

${\displaystyle \sin \theta ={\tfrac {\lambda }{d}}={\tfrac {x}{l}}\quad \Rightarrow \quad x={\tfrac {\lambda }{d}}\,l\approx {\text{750 nm}}.}$

Deshalb musste das Muster mit elektrostatischen Projektionslinsen um etwa den Faktor 100 vergrößert werden, bevor es mit einer 10-fach vergrößernden Einblickoptik beobachtet oder fotografisch erfasst werden konnte.

Die hohe Vergrößerung machte die Apparatur empfindlich gegenüber Störungen. Jönsson unterdrückte Vibrationen und Störfelder, bis ihm 1959 erstmals die Sichtbarmachung von Interferenzstreifen gelang. In seiner Dissertation dokumentierte er Interferenzmuster für Anordnungen mit ein bis fünf Spalten und lieferte damit den Nachweis der Wellennatur von Elektronen.

Doppelspaltversuch mit Atomen

Materiewellen von Atomen mit einer Wellenlänge von λ_dB können beim Durchgang durch einen Doppelspalt ebenfalls interferieren. Die Intensität ${\displaystyle I(\alpha )}$ auf dem Schirm in Abhängigkeit vom Winkel ${\displaystyle \alpha }$ zeigt Interferenzstreifen. Gemäß der Abbildung Schematische Darstellung des Doppelspaltexperiments oben gilt für die Periode des Streifenmusters ${\displaystyle \Delta x}$ für kleine Winkel ungefähr:

${\displaystyle \Delta x=\lambda _{dB}\cdot {\frac {d}{a}},}$

wobei a der Spaltenabstand und d der Abstand des Schirms vom Doppelspalt ist.

Ein Young-Doppelspaltexperiment mit Heliumatomen bei einem Spaltabstand von a = 8 μm liefert für einen Schirmabstand von d = 0,64 m für die de-Broglie-Wellenlänge von λ_dB = 103 pm ein Δ x = 8,4 μm ± 0,8 μm. Dieser Wert liegt nahe am theoretischen Wert von 8,2 μm.

Ein weiteres Experiment zeigt für die de-Broglie-Wellenlänge von λ_dB = 56 pm ein Δ x = 4,5 μm ± 0,6 μm. Die angeregten Heliumatome werden durch den Quellenspalt mit einer Breite von s₁ = 2 μm in einer dünnen Goldfolie über den Winkel λ_dB / s₁ = 5·10⁻⁵ rad durch den Spalt so gebeugt, dass der Doppelspalt im Abstand d = 0,64 m kohärent beleuchtet wird.

Das Heliumatom wurde ausgewählt, da es eine geringe Masse und große De-Broglie-Wellenlänge hat. Helium ist ein inertes Gas, das sehr empfindliche Strukturen ermöglicht. Die Erzeugung eines Heliumstrahls ist gut etabliert. Metastabile Heliumatome sind leicht nachweisbar und weisen Übergänge im nahen Infrarot auf. Laserfelder können sie leicht manipulieren.