Duale C*-Algebra

Die dualen C*-Algebren, auch C*-Algebren kompakter Operatoren genannt, sind eine spezielle Unterklasse von in der Mathematik betrachteten C*-Algebren. Sie zeichnen sich durch eine besonders einfache Struktur aus.

Definition

Ist $M \subset A$ eine Teilmenge einer Algebra $A$ , so heißt $lan (M) := {x \in A; x M = {0}}$ der Links-Annullator von $M$ . Entsprechend heißt $ran (M) := {x \in A; M x = {0}}$ der Rechts-Annullator von $M$ . Ganz allgemein nennt man eine Banachalgebra dual, wenn folgende Dualitätsbeziehungen bestehen:

$lan (ran) (I) = I$ für alle abgeschlossenen Linksideale $I \subset A$ ,
$ran (lan) (I) = I$ für alle abgeschlossenen Rechtsideale $I \subset A$ .

Bei C*-Algebren folgt jede der Bedingungen aus der jeweils anderen, da sich Links- und Rechtideale via Involution eineindeutig entsprechen.

Charakterisierungen

Eine C*-Algebra heißt elementar, wenn es einen Hilbertraum $H$ gibt, so dass sie isomorph zur Algebra $K (H)$ der kompakten Operatoren auf $H$ ist. Das eingeschränkte Produkt einer Familie $(A_{i})_{i}$ von C*-Algebren ist die Unteralgebra des kartesischen Produktes der $A_{i}$ , die aus allen Tupeln $(x_{i})_{i}$ besteht, für die ${i; ‖ x_{i} ‖ > ϵ}$ für jedes $ϵ > 0$ endlich ist. Zusammen mit der Norm $‖ (x_{i})_{i} ‖ := sup_{i} ‖ x_{i} ‖$ ist dies wieder einer C*-Algebra. Mit diesen Begriffsbildungen gilt nun:

Für eine C*-Algebra $A$ sind folgende Aussagen äquivalent:

$A$ ist eine duale C*-Algebra.
Die Summe der minimalen Linksideale liegt dicht in $A$ .
Die Summe der minimalen Rechtsideale liegt dicht in $A$ .
$A$ ist isomorph zu einer Unter-C*-Algebra einer elementaren C*-Algebra.
$A$ ist isomorph zu einem eingeschränkten Produkt einer Familie elementarer C*-Algebren.
Das Gelfand-Spektrum jeder maximalen kommutativen Unter-C*-Algebra ist diskret.
Für jedes $x \in A$ ist der Operator der Linksmultiplikation $L_{x} : A \to A, y \mapsto x y$ ein schwach-kompakter Operator.
Für jedes $x \in A$ ist der Operator der Rechtsmultiplikation $R_{x} : A \to A, y \mapsto y x$ ein schwach-kompakter Operator.

Dabei heißt ein Operator schwach-kompakt, wenn das Bild einer beschränkten Menge in der schwachen Topologie einen kompakten Abschluss hat.

Wegen dieser Charakterisierung nennt man duale C*-Algebren auch C*-Algebren kompakter Operatoren.

Beispiele

Die Matrizen-Algebren $M_{n} (ℂ)$ $= ℂ^{n \times n}$ sind elementar und daher dual, allgemeiner sind alle endlich-dimensionalen C*-Algebren dual.
Die Folgenalgebra $c_{0}$ der komplexen Nullfolgen ist eingeschränktes Produkt von abzählbar vielen Kopien von $ℂ ≅ M_{1} (ℂ)$ und daher dual.
Ist $H$ ein Hilbertraum und ist $A$ eine Unter-C*-Algebra von $K (H)$ , so ist $A$ dual. Nach obiger Charakterisierung erhält man so bis auf Isomorphie alle dualen C*-Algebren.
Die Funktionenalgebra $C ([0, 1])$ ist nicht dual, denn sie ist kommutativ und hat kein diskretes Gelfand-Spektrum. Aus demselben Grunde sind die Folgenalgebren $c$ und $ℓ^{\infty}$ der konvergenten bzw. beschränkten Folgen nicht dual.

Eigenschaften

Aus obigen Charakterisierungen ergibt sich leicht, dass Unter-C*-Algebren von dualen C*-Algebren und eingeschränkte Produkte dualer C*-Algebren wieder dual sind.

Duale C*-Algebren sind liminal.

Die Darstellungstheorie dualer C*-Algebren ist sehr einfach. Liegt die C*-Algebra als eingeschränktes Produkt elementarer C*-Algebren $K (H_{i})$ vor, so sind die irreduziblen Darstellungen bis auf Äquivalenz genau die Projektionen auf die Komponenten $K (H_{i})$ .

Quellen

W. Arveson: Invitation to C*-algebras, ISBN 0387901760
J. Dixmier: Les C*-algèbres et leurs représentations, Gauthier-Villars, 1969