Dynkin-System

Ein Dynkin-System (manchmal auch λ-System genannt) ist ein Begriff aus der Maßtheorie, einem Teilgebiet der Mathematik. Es ist benannt nach dem russischen Mathematiker Eugene Dynkin. Sie sind in Kombination mit dem Dynkinschen π-λ-Satz ein wichtiges Hilfsmittel zur Herleitung von Eindeutigkeitsaussagen in der Maßtheorie und Stochastik (siehe Maßeindeutigkeitssatz).

Definition

Eine Teilmenge $𝒟$ der Potenzmenge $𝒫 (Ω)$ einer Grundmenge $Ω$ heißt Dynkin-System über $Ω$ , falls sie die folgenden Eigenschaften besitzt:

Das System enthält die Grundmenge:

Ω \in 𝒟

.

Das System ist abgeschlossen unter Bildung von Komplementen:

A \in 𝒟 ⟹ A^{c} \in 𝒟

.

Das System ist abgeschlossen bezüglich abzählbarer Vereinigungen paarweise disjunkter Mengen:

{A_{n}}_{n \in ℕ} \subset 𝒟

disjunkt

⟹ ⋃_{n \in ℕ} A_{n} \in 𝒟

δ-Operator

Beliebige Durchschnitte von Dynkin-Systemen über $Ω$ ergeben wieder ein Dynkin-System. Ist daher $ℰ \subseteq 𝒫 (Ω)$ ein Mengensystem, dann wird durch

δ (ℰ) := ⋂_{\binom{ℰ \subseteq 𝒮}{𝒮 Dynkin-System}} 𝒮 .

ein Dynkin-System $δ (ℰ)$ definiert, genannt das von $ℰ$ erzeugte Dynkin-System. Es ist das kleinste Dynkin-System, welches $ℰ$ enthält. $ℰ$ heißt Erzeuger von $δ (ℰ)$ .

Der δ-Operator ist ein Hüllenoperator. Teilweise wird er entsprechend der Namensgebung als $λ$ -System auch als $λ$ -Operator $λ (\cdot)$ notiert. Weitere alternative Bezeichnungen sind $d (ℰ)$ oder $𝒟 (ℰ)$ .

Das Dynkin-System-Argument

Mit Dynkin-Systemen lassen sich in vielen Fällen Aussagen über σ-Algebren relativ einfach beweisen. Sei $α$ eine Aussage, die für Mengen $A \subseteq Ω$ entweder zutrifft oder nicht. Weiter sei $Σ$ eine σ-Algebra mit einem durchschnittsstabilen Erzeuger $ℰ$ , für dessen Elemente man $α$ zeigen kann. Nach dem Prinzip der guten Mengen betrachtet man nun das Mengensystem $𝒟 := {A \in Σ : A erfüllt α}$ und zeigt, dass es ein Dynkin-System ist. Dann folgt wegen der Durchschnittsstabilität von $ℰ$ einerseits $δ (ℰ) = σ (ℰ)$ , andererseits gilt aber auch $ℰ \subseteq 𝒟 \subseteq Σ$ und damit wegen $Σ = σ (ℰ) = δ (ℰ) \subseteq 𝒟$ schon $Σ = 𝒟$ .

Die definierenden Eigenschaften eines Dynkin-Systems sind oft einfacher nachzuweisen, weil bei der Abgeschlossenheit gegenüber abzählbarer Vereinigung nur Folgen von paarweise disjunkten Einzelmengen betrachtet werden müssen, während bei σ-Algebren diese Zusatzeigenschaft nicht zur Verfügung steht.

Zusammenhang mit weiteren Mengensystemen

Der Unterschied zwischen Dynkin-System und σ-Algebra in den definierenden Eigenschaften ist, dass im Dynkin-System lediglich die abzählbare Vereinigung von paarweise disjunkten Mengen aus $𝒟$ wieder ein Element des Dynkin-Systems $𝒟$ sein muss, während bei einer σ-Algebra beliebige abzählbare Vereinigungen von Mengen aus der σ-Algebra $𝒮$ wieder ein Element der σ-Algebra $𝒮$ sein muss.

σ-Algebren

Jede σ-Algebra ist immer auch ein Dynkin-System. Umgekehrt ist jedes durchschnittsstabile Dynkinsystem auch eine σ-Algebra. Ein Beispiel für ein Dynkin-System, das keine σ-Algebra ist, ist

ℳ = {∅︀, {1, 2}, {3, 4}, {1, 4}, {2, 3}, {1, 2, 3, 4}}

auf der Grundmenge $Ω = {1, 2, 3, 4}$ . Das Mengensystem ist ein Dynkin-System, aber keine Algebra (da nicht schnittstabil) und damit auch keine σ-Algebra.

Es gilt außerdem der dynkinsche π-λ-Satz: Ist $ℰ$ ein durchschnittsstabiles Mengensystem, so stimmen die von $ℰ$ erzeugte σ-Algebra und das von $ℰ$ erzeugte Dynkin-System überein.

Monotone Klassen

Dynkin-Systeme lassen sich auch über monotone Klassen definieren: Ein Mengensystem $𝒟$ ist genau dann ein Dynkin-System, wenn $𝒟$ eine monotone Klasse ist, welche die Obermenge $Ω$ enthält und in der für beliebige Mengen $A, B \in 𝒟$ mit $B \subset A$ auch $A ∖ B \in 𝒟$ gilt.

Literatur

Christian Hesse: Angewandte Wahrscheinlichkeitstheorie. 1. Auflage. Vieweg, Wiesbaden 2003, ISBN 3-528-03183-2, S. 20–21, doi:10.1007/978-3-663-01244-3.
Jürgen Elstrodt: Maß- und Integrationstheorie. 6., korrigierte Auflage. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 2009, ISBN 978-3-540-89727-9, doi:10.1007/978-3-540-89728-6.
Heinz Bauer: Maß- und Integrationstheorie. 2., überarbeitete Auflage. Walter de Gruyter, Berlin / New York 1992, ISBN 3-11-013626-0.

Einzelnachweise

↑ Heinz Bauer: Maß- und Integrationstheorie. 1992, ISBN 3-11-013626-0, S. 7, Def. 2.1.
↑ Achim Klenke: Wahrscheinlichkeitstheorie. 3. Auflage. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 2013, ISBN 978-3-642-36017-6, S. 4, doi:10.1007/978-3-642-36018-3.

[1] Heinz Bauer: Maß- und Integrationstheorie. 1992, ISBN 3-11-013626-0, S. 7, Def. 2.1.

[2] Achim Klenke: Wahrscheinlichkeitstheorie. 3. Auflage. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 2013, ISBN 978-3-642-36017-6, S. 4, doi:10.1007/978-3-642-36018-3.