Ordnung eines Gruppenelementes

Im mathematischen Teilgebiet der Gruppentheorie versteht man unter der Ordnung eines Gruppenelementes oder Elementordnung eines Elements $g$ einer Gruppe $(G, \cdot)$ die kleinste natürliche Zahl $n > 0$ , für die $g^{n} = e$ gilt, wobei $e$ das neutrale Element der Gruppe ist. Gibt es keine derartige Zahl, so sagt man, $g$ habe unendliche Ordnung. In Formeln:

Ord (g) = inf {n \in ℕ^{+} : g^{n} = e}

mit der Konvention $inf (∅︀) = + \infty$ . Elemente endlicher Ordnung werden auch Torsionselemente genannt. Die Ordnung wird manchmal mit $ord (g)$ oder $o (g)$ bezeichnet.

Die Potenz $g^{n}$ eines Gruppenelementes $g$ ist dabei für natürliche Exponenten $n \geq 0$ induktiv definiert:

$g^{0} := e$
$g^{k + 1} := g^{k} \cdot g$ für alle natürlichen $k \geq 0$

Die Zahl $\exp (G) := kgV {ord (g) | g \in G}$ wird, wenn sie endlich ist, Gruppenexponent genannt.

Eigenschaften

Nach dem Satz von Lagrange haben alle Elemente einer endlichen Gruppe eine endliche Ordnung, und diese ist ein Teiler der Gruppenordnung, d. h. der Anzahl der Elemente der Gruppe.
Umgekehrt existiert in einer endlichen Gruppe nach dem Satz von Cauchy zu jedem Prim teiler $p$ der Gruppenordnung ein Element, das die Ordnung $p$ hat. Für zusammengesetzte Teiler ist keine allgemeine Aussage möglich (während zum trivialen Teiler 1 das neutrale Element $e = e^{1}$ gehört).
Die Ordnung eines Elementes ist gleich der Ordnung der zyklischen Untergruppe, die von diesem Element erzeugt wird.
Es gilt $g^{d} = e$ genau dann, wenn $d$ ein Vielfaches der Ordnung $ord (g)$ des Elements $g$ ist.
Für jedes $g \in G$ , welches nicht das neutrale Element $e$ ist, gilt: $g$ hat genau dann Ordnung 2, wenn es sein eigenes Inverses ist.
In abelschen Gruppen ist die Ordnung des Produktes $g \cdot h$ ein Teiler des kleinsten gemeinsamen Vielfachen der Ordnungen von $g$ und $h$ . In nichtabelschen Gruppen ist keine derartige Aussage möglich; beispielsweise hat das Element $[\begin{matrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{matrix}]$ der Gruppe SL₂(Z) unendliche Ordnung, obwohl es das Produkt der Elemente $[\begin{matrix} 0 & 1 \\ - 1 & 0 \end{matrix}]$ mit der Ordnung 4 und $[\begin{matrix} 0 & - 1 \\ 1 & 1 \end{matrix}]$ mit der Ordnung 6 ist.

Literatur

Jens Carsten Jantzen, Joachim Schwermer: Algebra (= Springer-Lehrbuch). Springer, Berlin, Heidelberg, New York 2006, DNB 971707456, doi:10.1007/3-540-29287-X (zbMATH Open).
Kurt Meyberg: Algebra. Teil 1 (= Mathematische Grundlagen für Mathematiker, Physiker und Ingenieure). Carl Hanser Verlag, München, Wien 1975, DNB 750098333 (MR0460010).