Epigraph (Mathematik)

In der Mathematik bezeichnet der Epigraph einer reellwertigen Funktion $f : X \to ℝ$ die Menge aller Punkte, die auf oder über ihrem Graphen liegen.

epi f := {(x, μ) \in X \times ℝ : f (x) \leq μ} \subseteq X \times ℝ

Ist der Bildraum der Funktion der $ℝ^{n}$ versehen mit einer verallgemeinerten Ungleichung $≼_{K}$ , so ist der Epigraph definiert als

epi f := {(x, μ) \in X \times ℝ^{n} : f (x) ≼_{K} μ} \subseteq X \times ℝ^{n}

.

Eigenschaften

Sei $X$ ein normierter $ℝ$ -Vektorraum. Für Funktionen $f : X \to ℝ$ gilt:

$f$ ist genau dann konvex, wenn der Epigraph von $f$ eine konvexe Menge bildet.
$f$ ist genau dann halbstetig von unten, wenn der Epigraph von $f$ eine abgeschlossene Menge bildet.
$f$ ist genau dann schwach unterhalbstetig, wenn der Epigraph von $f$ eine schwach folgenabgeschlossene Menge ist.
Ist $f$ eine affin-lineare Funktion, dann definiert ihr Epigraph einen Halbraum in $X$ .

Ist der Bildraum der Funktion der $ℝ^{n}$ , so ist sie genau dann K-konvex, wenn der Epigraph konvex ist.

Ralph Tyrell Rockafellar: Convex Analysis. Princeton University Press, Princeton 1997, ISBN 0-691-01586-4
Johannes Jahn: Introduction to the Theory of Nonlinear Optimization. 3. Auflage. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg New York 2007, ISBN 978-3-540-49378-5.

Commons: Epi- und Hypographen – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien