Euler-Produkt

Das Euler-Produkt ist ein Begriff aus dem mathematischen Teilgebiet der Analysis und insbesondere der Zahlentheorie. Es ist eine Darstellung einer Dirichlet-Reihe mittels eines unendlichen Produktes indiziert über die Menge der Primzahlen. Benannt ist das Euler-Produkt nach Leonhard Euler, der das unendliche Produkt bezüglich der Dirichlet-Reihe der Riemannschen Zeta-Funktion untersuchte.

Definition

Sei $f$ eine multiplikative zahlentheoretische Funktion und $F (s) := \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{f (n)}{n^{s}}$ die entsprechende Dirichlet-Reihe von $f$ . Falls diese Reihe für eine komplexe Zahl $s$ absolut konvergiert, dann gilt

F (s) = \prod_{p p r i m} \sum_{k = 0}^{\infty} \frac{f (p^{k})}{p^{k s}}

.

Im Falle einer vollständig multiplikativen Funktion $f$ vereinfacht sich dieses Produkt zu

F (s) = \prod_{p prim} \frac{1}{1 - f (p) p^{- s}}

.

Diese unendlichen Produkte über alle Primzahlen heißen Euler-Produkte. Der Wert dieser Produkte ist definiert als Grenzwert ${lim}_{N \to \infty} P_{N}$ der Folge endlicher Produkte $P_{N}$ , die entsteht, indem man das Produkt nur auf Primzahlen unterhalb einer Schranke N erstreckt.

Beweis

Es gibt mehrere Beweise für die Gültigkeit des Euler-Produktes.

Zunächst ist klar, dass mit absoluter Konvergenz der Reihe $F (s)$ auch jeder Faktor $\sum_{k = 0}^{\infty} \frac{f (p^{k})}{p^{k s}}$ absolut konvergiert. Es folgt, dass für jedes $N$ das Partialprodukt

F_{N} (s) = \prod_{\binom{p \leq N}{p Primzahl}} \sum_{k = 0}^{\infty} \frac{f (p^{k})}{p^{k s}}

existiert. Damit sieht man sogleich mit der Cauchy-Produktformel und der aufsteigenden Folge der Primzahlen $2 = p_{1} < p_{2} < \dots < p_{j} \leq N < p_{j + 1}$ :

F_{N} (s) = \sum_{k_{1} = 0}^{\infty} \dots \sum_{k_{j} = 0}^{\infty} \frac{f (p_{1}^{k_{1}}) \dots f (p_{j}^{k_{j}})}{(p_{1}^{k_{1}} \dots p_{j}^{k_{j}})^{s}} = \sum_{k_{1} = 0}^{\infty} \dots \sum_{k_{j} = 0}^{\infty} \frac{f (p_{1}^{k_{1}} \dots p_{j}^{k_{j}})}{(p_{1}^{k_{1}} \dots p_{j}^{k_{j}})^{s}} .

Im zweiten Schritt wurde die Multiplikativität von $f$ benutzt. Damit folgt

F_{N} (s) = \sum_{n \leq N} \frac{f (n)}{n^{s}} + \sum_{n > N}' \frac{f (n)}{n^{s}},

wobei der Strich an der zweiten Summe anzeigt, dass nur über alle $n > N$ summiert wird, deren Primteiler sämtlich $\leq N$ sind. Damit folgt: für jedes $ε > 0$ existiert ein $N > 0$ mit

| F (s) - F_{N} (s) | \leq \sum_{n = N + 1}^{\infty} | \frac{f (n)}{n^{s}} | < ε .

Somit konvergiert die Folge der Partialprodukte $F_{N} (s)$ für jedes $s$ im Bereich der absoluten Konvergenz gegen $F (s)$ (sogar gleichmäßig auf kompakten Teilmengen) und der Satz ist gezeigt.

Das Euler-Produkt der Riemannschen Zeta-Funktion

Formulierung

Im Fall $f (n) = 1$ für alle $n \in ℕ$ ist $f$ offenbar vollständig multiplikativ. Es gilt demnach für alle $Re (s) > 1$

ζ (s) = \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n^{s}} = \prod_{p p r i m} \frac{1}{1 - \frac{1}{p^{s}}} .

Die Funktion $ζ (s)$ ist dabei auch bekannt als Riemannsche Zeta-Funktion.

Herleitung von Euler

Die Idee dieses Herleitungsweges wurde bereits von Euler verwendet. Man nehme eine Teilmenge $M \subset ℕ$ und eine Primzahl $p$ , so dass $1 \in M$ und $p M \subset M$ . Ist also $m \in M$ , so folgt ebenfalls $p m \in M$ . Dann gilt ganz allgemein für $Re (s) > 1$

(1 - \frac{1}{p^{s}}) \sum_{m \in M} \frac{1}{m^{s}} = \sum_{m \in M} \frac{1}{m^{s}} - \sum_{m \in M} \frac{1}{(p m)^{s}} = \sum_{m \in M ∖ p M} \frac{1}{m^{s}} .

Bezeichnen wir jetzt $p_{n}$ als die Folge der Primzahlen in aufsteigender Folge, und $M_{k}$ als die Menge der Zahlen, die nicht durch $p_{1}, \dots, p_{k}$ teilbar sind (z. B. $M_{1} = {1, 3, 5, 7, \dots}$ ). Setze zudem $M_{0} := ℕ$ . Dann hat jedes $M_{k}$ die obere Eigenschaft mit der nächsten Primzahl $p_{k + 1}$ und es gilt $M_{k + 1} = M_{k} ∖ p_{k + 1} M_{k}$ . Also:

(1 - \frac{1}{p_{k + 1}^{s}}) \sum_{m \in M_{k}} \frac{1}{m^{s}} = \sum_{m \in M_{k + 1}} \frac{1}{m^{s}}

und damit induktiv

(1 - \frac{1}{2^{s}}) (1 - \frac{1}{3^{s}}) \dots (1 - \frac{1}{p_{k}^{s}}) ζ (s) = \sum_{m \in M_{k + 1}} \frac{1}{m^{s}} .

Bildet man auf beiden Seiten den Limes, ergibt sich

lim_{k \to \infty} (1 - \frac{1}{2^{s}}) (1 - \frac{1}{3^{s}}) \dots (1 - \frac{1}{p_{k}^{s}}) ζ (s) = lim_{k \to \infty} \sum_{m \in M_{k + 1}} \frac{1}{m^{s}} = 1,

da die 1 die einzige natürliche Zahl ist, die durch keine Primzahl teilbar ist.

Weblinks

Eric W. Weisstein: Euler Product. In: MathWorld (englisch).
S.A. Stepanov: Euler product. In: Michiel Hazewinkel (Hrsg.): Encyclopedia of Mathematics. Springer-Verlag und EMS Press, Berlin 2002, ISBN 1-55608-010-7 (englisch, encyclopediaofmath.org). Vorlage:EoM/id

Einzelnachweise

↑ Euler-Produkt. In: Guido Walz (Hrsg.): Lexikon der Mathematik. 1. Auflage. Spektrum Akademischer Verlag, Mannheim/Heidelberg 2000, ISBN 3-8274-0439-8.
↑ Rainer Schulze-Pillot: Einführung in Algebra und Zahlentheorie. 2. korrigierte und erweiterte Auflage. Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg 2008, ISBN 978-3-540-79569-8, S. 53.

[1] Euler-Produkt. In: Guido Walz (Hrsg.): Lexikon der Mathematik. 1. Auflage. Spektrum Akademischer Verlag, Mannheim/Heidelberg 2000, ISBN 3-8274-0439-8.

[2] Rainer Schulze-Pillot: Einführung in Algebra und Zahlentheorie. 2. korrigierte und erweiterte Auflage. Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg 2008, ISBN 978-3-540-79569-8, S. 53.