Faktorisierung

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Eine Faktorisierung ist in der Mathematik die Zerlegung eines mathematischen Objekts in mehrere nichttriviale Faktoren. Das heißt, ein Objekt ${\displaystyle X}$ wird als Verknüpfung von (in der Regel einfacheren) Objekten dargestellt:

${\displaystyle X=a_{1}*a_{2}*\cdots *a_{n}}$

wobei ${\displaystyle *}$ eine geeignete Verknüpfung in der jeweiligen algebraischen Struktur ${\displaystyle (A,*)}$ bezeichnet. Ein Beispiel ist die Faktorisierung in der multiplikativen Struktur der natürlichen Zahlen ${\displaystyle (\mathbb {N} ,\cdot )}$ wie zum Beispiel

${\displaystyle 12=2\cdot 2\cdot 3=2^{2}\cdot 3.}$

Anwendungsbeispiele

• Die stets eindeutige Primfaktorzerlegung einer natürlichen Zahl (vgl. die Faktorisierungsverfahren, um eine Primfaktorzerlegung zu erhalten).
• Algebraische Terme lassen sich häufig durch Ausklammern und die Anwendung binomischer Formeln faktorisieren.
• Polynome lassen sich faktorisieren. Über einem algebraisch abgeschlossenen Körper gibt es sogar immer eine Faktorisierung in Linearfaktoren.
• Anwendung bei Matrizen:
  • Eine Matrix kann in Faktoren zerlegt werden, was beispielsweise bei der Lösung linearer Gleichungssysteme mittels Dreieckszerlegung (auch LU- oder LR-Zerlegung genannt) angewendet wird. Die LR-Zerlegung wird in der numerischen Praxis meist mit dem Gaußschen Eliminationsverfahren gewonnen.
  • Eine weitere Matrizenfaktorisierung aus der Numerik ist die QR-Zerlegung, die normalerweise mittels Householdertransformationen oder Givens-Rotationen gewonnen werden kann.
  • In der Datenanalyse werden unter anderem die non negative matrix factorization und die binary matrix factorization betrachtet, um Matrizen in zwei Cluster- bzw. Konzeptmatrizen zu zerlegen.
• Abstrakter versucht man die Elemente von Ringen in elementare Faktoren zu zerlegen. Neben Zahl-, Polynom- und Matrix-Ringen können das auch Operator-Ringe sein.
• In der Wahrscheinlichkeitstheorie bezeichnet man als Faktorisierung die Zerlegung einer Zufallsvariablen in unabhängige Summanden, da die charakteristische Funktion einer Summe unabhängiger Zufallsvariablen das Produkt der einzelnen charakteristischen Funktionen ist.
• Die statistische Faktorenanalyse nach Spearman.
• Die logische Faktorisierung einer Proposition ${\displaystyle A}$ in Bezug auf eine andere Proposition ${\displaystyle B}$:

${\displaystyle A=(B\rightarrow A)\land (A\lor B)}$

• In der Graphentheorie bezeichnet man die Zerlegung eines Graphen ${\displaystyle G}$ in Teilgraphen, bei denen jeder Knoten ${\displaystyle x}$ nur eine bestimmte Anzahl ${\displaystyle a}$ von Nachbarknoten hat, als Faktorisierung, und deren Ergebnis als ${\displaystyle a}$-Faktoren, z. B. 1-Faktoren. Siehe Artikel Faktor (Graphentheorie).

Einzelnachweise

1. ↑ Karl Popper, David Miller: A proof of the impossibility of inductive probability, in: Nature 302 (1983), 687f.