Falksches Schema

Das Falksche Schema (benannt nach dem deutschen Ingenieur Sigurd Falk) ist eine Tabelle, die eine optische Hilfe bei der schriftlichen Matrizenmultiplikation bietet. Der linke Faktor, die $(m \times r)$ -Matrix, wird links von der $(m \times n)$ -Ergebnismatrix und der rechte Faktor, die $(r \times n)$ -Matrix, wird oberhalb der Ergebnismatrix platziert. Wo sich die $i$ -te Zeile des linken Multiplikanden und die $j$ -te Spalte des rechten Multiplikanden kreuzen, wird das entsprechende Skalarprodukt eingetragen.

Beispiel

Gegeben sind die Matrizen

A = (\begin{matrix} 1 & 4 \\ 2 & 5 \\ 3 & - 6 \end{matrix})

und

B = (\begin{matrix} - 1 & 1 \\ 1 & - 2 \end{matrix})

.

Dann sieht das Falksche Schema zur Berechnung der Produktmatrix $C = A \cdot B$ wie folgt aus:

$\begin{matrix} (\begin{matrix} - 1 & 1 \\ 1 & - 2 \end{matrix}) \\ (\begin{matrix} 1 & 4 \\ 2 & 5 \\ 3 & - 6 \end{matrix}) & (\begin{matrix} 3 & - 7 \\ 3 & - 8 \\ - 9 & 15 \end{matrix}) \end{matrix}$

Hierbei steht die Produktmatrix $C$ unten rechts.

Rechenweg

Zunächst werden die Matrizen höhenversetzt nebeneinander geschrieben (in der ursprünglichen Ausrichtung, also ohne Kippen oder Drehen). Man erkennt bereits anhand des Schemas, dass $C$ eine $(3 \times 2)$ -Matrix sein muss.

			Spalte j
			1	2
			−1	1
Zeile i			1	−2
1	1	4
2	2	5
3	3	−6

Dann werden Schritt für Schritt die Einträge von $C$ berechnet. Meist fängt man beim Eintrag $c_{11}$ an. Hierzu wird die 1. Zeile von $A$ mit der 1. Spalte von $B$ „multipliziert“. Gemeint ist damit, dass das Skalarprodukt der entsprechenden Zeile und Spalte gebildet wird: $1 \cdot (- 1) + 4 \cdot 1$ . Das Ergebnis wird genau im Kreuzungspunkt der 1. Zeile von $A$ und der 1. Spalte von $B$ eingetragen.

			1	2
			−1	1
Zeile i			1	−2
1	1	4	3
2	2	5
3	3	−6

Die erste Zeile von $A$ wird mit der zweiten Spalte von $B$ multipliziert: $1 \cdot 1 + 4 \cdot (- 2)$ . Das Ergebnis ist das Element $c_{12} = - 7$ .

			Spalte j
			1	2
			−1	1
Zeile i			1	−2
1	1	4	3	−7
2	2	5
3	3	−6

Analog wird mit den weiteren Zeilen verfahren. Zum Schluss wird die dritte Zeile von $A$ mit der zweiten Spalte von $B$ multipliziert: $3 \cdot 1 + (- 6) \cdot (- 2)$ . Das Ergebnis ist das Element $c_{32} = 15$ .

			Spalte j
			1	2
			−1	1
Zeile i			1	−2
1	1	4	3	−7
2	2	5	3	−8
3	3	−6	−9	15

Literatur

Sigurd Falk: Ein übersichtliches Schema für die Matrizenmultiplikation. In: Zeitschrift für Angewandte Mathematik und Mechanik (ZAMM). Band 31, Nr. 4–5, 1951, ISSN 0044-2267, S. 152–153, doi:10.1002/zamm.19510310409.
Rudolf Zurmühl: Matrizen und ihre technischen Anwendungen. Vierte neubearbeitete Auflage. Springer, Berlin, Göttingen, Heidelberg 1964, S. 17 (XII, 452, eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche).
Rudolf Zurmühl, Sigurd Falk: Matrizen und Ihre Anwendungen: Teil 1, Grundlagen. 7. Aufl., Nachdruck in veränd. Ausstattung. Springer, Berlin, Heidelberg, New York 2011, ISBN 978-3-642-17542-8, S. 17 (XIV, 496 S.).
Sascha Kurz, Jörg Rambau: Mathematische Grundlagen für Wirtschaftswissenschaftler. Kohlhammer Verlag, Stuttgart 2009, ISBN 978-3-17-019882-1, S. 29–30.
Lothar Papula: Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler. 4. Auflage. Band 2. Vieweg + Teubner Verlag, Wiesbaden 2010, ISBN 978-3-8348-9730-5, S. 525–528.
Karl-Eugen Kurrer: The History of the Theory of Structures. Searching for Equilibrium. Ernst & Sohn, Berlin 2018, ISBN 978-3-433-03229-9, S. 842 f.

Weblinks

Wikibooks: Analytische Geometrie – Matrizen – Rechnen mit Matrizen – Matrizenmultiplikation
Dankert: Verschiedene Beispiele und deren Erweiterung. HAW Hamburg, Archivlink abgerufen am 27. Februar 2022