Fastring

Ein Fastring ist in der Mathematik die Verallgemeinerung der algebraischen Struktur eines Ringes, in der die Addition nicht mehr kommutativ sein muss und in der nur ein einseitiges Distributivgesetz gilt. Im Allgemeinen werden Fastringe verwendet, um algebraisch mit Funktionen auf Gruppen arbeiten zu können.

Definitionen

Beispiele

• Typische Beispiele für Fastringe sind Mengen von Selbstabbildungen auf Gruppen. Sei etwa ${\displaystyle (G,+)\,}$ eine Gruppe und ${\displaystyle G^{G}}$ bezeichne die Menge aller Funktionen ${\displaystyle f\colon G\to G}$, dann überträgt sich die Gruppenstruktur auf ${\displaystyle G^{G}}$ durch

${\displaystyle (f+g)(x):=f(x)+g(x)\,}$ für alle ${\displaystyle x\in G.}$

Außerdem bildet ${\displaystyle G^{G}}$ mittels der Komposition ${\displaystyle \circ }$ ein Monoid, so dass dann ${\displaystyle \left(G^{G},+,\circ \right)}$ ein Fastring mit Eins ${\displaystyle \operatorname {id} _{G}}$ ist, da das rechtsseitige Distributivgesetz automatisch erfüllt ist:

${\displaystyle ((f+g)\circ h)(x)=(f+g)\left(h(x)\right)=f\left(h(x)\right)+g\left(h(x)\right)=(f\circ h)(x)+(g\circ h)(x)=(f\circ h+g\circ h)(x)}$ für alle ${\displaystyle x\in G.}$

• Ist ${\displaystyle \ (F,+,0)}$ eine Gruppe und ${\displaystyle \ A}$ eine Untergruppe der Automorphismengruppe von ${\displaystyle \ F}$, die scharf-transitiv auf ${\displaystyle F\setminus \{0\}}$ operiert, d. h. für zwei Elemente ${\displaystyle x,y\in F\setminus \{0\}}$ gibt es genau ein ${\displaystyle g\in A}$ mit ${\displaystyle \ g(x)=y}$, dann kann man wie folgt eine Operation ${\displaystyle \ \circ }$ auf ${\displaystyle F}$ definieren: Man wählt ein festes Element ${\displaystyle e\in F\setminus \{0\}}$. Sind ${\displaystyle \ a,b\in F\setminus \{0\}}$, so gibt es eindeutig bestimmte Elemente ${\displaystyle \ g,h\in A}$ mit ${\displaystyle \ g(e)=a}$ und ${\displaystyle \ h(e)=b}$. Man definiert dann ${\displaystyle \ a\circ b:=g(h(e))}$, ferner setzt man ${\displaystyle \ 0\circ a=a\circ 0=0}$ für alle ${\displaystyle \ a\in F}$. Dann ist ${\displaystyle \ (F,+,\circ ,0,e)}$ ein Fastkörper, dessen multiplikative Gruppe isomorph zu ${\displaystyle \ A}$ ist. Das rechtsseitige Distributivgesetz ist wegen ${\displaystyle g(h(e)+k(e))=g(h(e))+g(k(e))}$ für alle ${\displaystyle g,h,k\in A}$ erfüllt. Ist ${\displaystyle \ F=Z_{3}^{2}}$, so enthält die Automorphismengruppe von ${\displaystyle F}$ eine Untergruppe, die isomorph zur Quaternionengruppe der Ordnung 8 ist. Diese Gruppe operiert scharf-transitiv auf ${\displaystyle F\setminus \{0\}}$. So erhält man ein minimales Beispiel für einen Fastkörper, der kein Körper ist.
• Die Menge aller abzählbaren Ordinalzahlen bildet mit der Ordinalzahladdition und Ordinalzahlmultiplikation einen Links-Halb-Fastring, d. h. die Addition bildet keine Gruppe, sondern nur ein (nicht kommutatives) Monoid und es gilt nur das linke Distributivgesetz.

Eigenschaften

• Jeder Fastring ${\displaystyle (F,+,\cdot )}$ hat einen 0-symmetrischen Teil ${\displaystyle F_{0}=\{a\in F\mid a\cdot 0=0\}}$ und einen konstanten Teil ${\displaystyle F_{c}=\{a\in F\mid a\cdot 0=a\},}$ so dass ${\displaystyle F_{0}\cap F_{c}=\{0\}}$ gilt.

Siehe auch

• Körper (Algebra)
• Schiefkörper
• Halbring (Algebraische Struktur)

Anmerkungen

1. ↑ ${\displaystyle (F,+)}$ muss nicht kommutativ sein!

Literatur

• Gerhard Betsch (Hrsg.): Near-rings and near-fields. North-Holland, Amsterdam 1987, ISBN 0-444-70191-5.

• James R. Clay: Nearrings. Geneses and applications. Oxford University Press, Oxford 1992, ISBN 0-19-853398-5.
• John D. P. Meldrum: Near-rings and their links with groups. Pitman, Boston 1985, ISBN 0-273-08701-0.
• Günter Pilz: Near-Rings. North-Holland, Amsterdam–New York–Oxford 1977, ISBN 0-7204-0566-1 (Rev. ed. 1983).
• Heinz Wähling: Theorie der Fastkörper. Thales Verlag, 1987.