Spektrumsfaltung

Der Begriff Folded Spectrum Method (FSM) bzw. Spektrumsfaltung bezeichnet ein mathematisches iteratives Optimierungsverfahren für Eigenwertprobleme. Mit ihm ist es möglich, den Eigenvektor $Ψ$ eines großen Eigenwertproblems zur Matrix $H$ zu bestimmen, der am nächsten an einem beliebigen Ziel-Eigenwert $ε$ (aus der Mitte des Spektrums) liegt, ohne die gesamte Matrix lösen zu müssen.

Formel

$Ψ_{i + 1} = Ψ_{i} - α (H - ε 𝟏)^{2} Ψ_{i}$ , mit $0 < α^{} < 1$ und $𝟏$ der Einheitsmatrix.

Bewertung

Im Gegensatz zum Bergsteigeralgorithmus (englisch hill climbing, auch downhill) oder dem CG-Verfahren wird der Gradient $G$ hier (FSM) durch zweimaliges Anwenden der Matrix $H$ ermittelt: $G \sim H \to G \sim H^{2}$

Dieses Verfahren eignet sich besonders für große dünnbesetzte Matrizen.

Literatur

J. K. L. MacDonald: On the Modified Ritz Variation Method. In: Physical Review. 46, 1934, S. 828.
L. W. Wang, A. Zunger: Electronic Structure Pseudopotential Calculations of Large (.apprx. 1000 Atoms) Si Quantum Dots. In: Journal of Chemical Physics. 98, 1994, S. 2158. doi:10.1021/j100059a032
L. W. Wang, A. Zunger: Solving Schrodinger's equation around a desired energy: Application to silicon quantum dots. In: Journal of Chemical Physics. 100, 1994, S. 2394.