Fredholmsche Alternative

In der Mathematik ist die nach Erik Ivar Fredholm benannte Fredholmsche Alternative ein Resultat der Fredholmtheorie. Sie kann auf verschiedene Arten ausgedrückt werden: als Theorem der linearen Algebra, als ein Theorem über Integralgleichungen oder als ein Theorem über Fredholm-Operatoren. Insbesondere besagt es, dass eine komplexe Zahl ungleich 0 im Spektrum eines kompakten Operators ein Eigenwert ist.

Version der linearen Algebra

In einem $n$ -dimensionalen Vektorraum $V$ gilt für eine lineare Abbildung $A : V \to V$ genau eine der folgenden Aussagen:

Zu jedem Vektor $v$ in $V$ gibt es einen Vektor $u$ in $V$ so, dass $A u = v$ . Mit anderen Worten: $A$ ist surjektiv.
Es gibt ein $u \neq 0$ in $V$ mit $A u = 0$ , das heißt: $A$ ist nicht injektiv.

Fredholmsche Integralgleichungen

Sei $K (x, y)$ ein Integralkern. Betrachte die homogene Fredholmsche Integralgleichung,

λ ϕ (x) - \int_{a}^{b} K (x, y) ϕ (y) d y = 0

,

sowie die inhomogene Gleichung

λ ϕ (x) - \int_{a}^{b} K (x, y) ϕ (y) d y = f (x)

.

Die Fredholmsche Alternative besagt nun, dass für eine komplexe Zahl $0 \neq λ \in ℂ$ , entweder die erste Gleichung eine nichttriviale Lösung hat, oder die zweite Gleichung eine Lösung für beliebige rechte Seiten $f (x)$ besitzt.

Eine hinreichende Bedingung, damit dieser Satz gilt, ist die Quadratintegrierbarkeit von $K (x, y)$ auf dem Rechteck $[a, b] \times [a, b]$ (wobei a und/oder b auch plus oder minus unendlich sein dürfen).

Fredholmsche Alternative

Aussage

Sei $K \in K (X)$ ein kompakter Operator auf $X$ und sei $λ \in ℂ$ mit $λ \neq 0$ . Dann ist $T x := λ x - K x$ ein Fredholm-Operator mit Fredholm-Index 0. Die Fredholmsche Alternative lautet nun:

Entweder haben sowohl die homogene Gleichung

λ x - K x = 0

als auch die adjungierte Gleichung

λ x^{'} - K^{'} x^{'} = 0

nur die triviale Lösung Null und somit sind die inhomogenen Gleichungen

λ x - K x = y

und

λ x^{'} - K^{'} x^{'} = y^{'}

eindeutig lösbar,

oder die homogene Gleichung

λ x - K x = 0

und die adjungierte Gleichung

λ x^{'} - K^{'} x^{'} = 0

besitzen genau

n = \dim \ker (λ id - K) < \infty

linear unabhängige Lösungen (wobei

id

die identische Abbildung bezeichnet) und somit wäre die inhomogene Gleichung

λ x - K x = y

genau dann lösbar, wenn

y \in (\ker (λ id - K^{'}))^{⊥}

gilt.

Im Zusammenhang mit den Integralgleichungen

Beachte, dass die Delta-Distribution die Identität der Faltung ist. Sei $X$ ein Banachraum, beispielsweise $X = L^{2} ([a, b])$ und sei $T : X \to X$ ein Fredholm-Operator, welcher durch

T ϕ (x) = \int_{a}^{b} λ δ (x - y) ϕ (y) - k (x, y) ϕ (y) d y = λ ϕ (x) - \int_{a}^{b} k (x, y) ϕ (y) d y,

definiert ist, wobei $k \in L^{2} ([a, b])$ gelten muss, um einen Fredholm-Operator zu erhalten. Dann ist $\int_{a}^{b} k (x, y) ϕ (y) d y$ ein kompakter Operator und man sieht, dass diese Aussage die Aussage über die Fredholmschen Integralgleichungen verallgemeinert.

Die Fredholmsche Alternative kann man dann wie folgt formulieren: Ein $λ \neq 0$ ist entweder ein Eigenwert von $K$ oder es liegt in der Resolventenmenge

ρ (K) = {λ \in ℂ : (λ id - K) beschränkt invertierbar}

.

Literatur

Paul Mönnig: Die praktische Auflösung der fredholm’schen Integralgleichung mit symmetrischem Produktkern, Braunschweig 1947. Reihe: Veröffentlichungen d. Math. Inst. d. Techn. Hochsch. Braunschweig, 1947,4 (nicht in DNB nachgewiesen)
Dirk Werner: Funktionalanalysis, Springer-Verlag, Berlin, ISBN 978-3-540-72533-6.