Geobrett

Untersuchung von Linien

Die Anzahl der Strecken auf einem (n×n)-Gitter ergibt sich mittels Binomialkoeffizient zu

${\displaystyle \#s(n)={\binom {n^{2}}{2}}={\frac {n^{2}(n^{2}-1)}{2}}}$.

Eine explizite Formel für die Berechnung der Anzahl der Geraden auf einem (n×n)-Gitter ist nicht bekannt; es gibt aber rekursive Formeln.

Die folgende Formel verwendet den größten gemeinsamen Teiler zur Berechnung der Werte

${\displaystyle \#g(n)=2\left(f(n,1)-f(n,2)\right)}$ mit

${\displaystyle f(n,k)=\sum _{i=0}^{n-1}\sum _{j=0}^{n-1}(n-i)(n-j)}$, falls ${\displaystyle {\mbox{ggT}}(i,j)=k}$.

Eine andere Rekursionsformel berechnet die Werte mittels der Eulerschen φ-Funktion zu

${\displaystyle \#g(n)=2g_{1}(n)-g(n-1)+r_{1}(n)}$,

wobei ${\displaystyle g_{1}(n)=2g(n-1)-g_{1}(n-1)+r_{2}(n)}$

mit ${\displaystyle g(0)=g_{1}(0)=0}$;

${\displaystyle r_{1}(n)=r_{1}(n-1)+4\left(\varphi (n-1)-e(n)\right)}$ und ${\displaystyle r_{1}(0)=0}$,

${\displaystyle e(n)={\begin{cases}\varphi ({\frac {n-1}{2}}),&{\mbox{falls }}n{\mbox{ gerade}}\\0,&{\mbox{sonst}}\end{cases}}}$

und ${\displaystyle r_{2}(n)={\begin{cases}(n-1)\cdot \varphi (n-1),&{\mbox{falls }}n{\mbox{ gerade}}\\{\frac {n-1}{2}}\cdot \varphi (n-1),&{\mbox{falls }}n\equiv 1\mod 4\\0,&{\mbox{sonst}}\end{cases}}}$.

Untersuchung von Figuren

Im Vordergrund stehen hier vor allem

• die Untersuchung von Symmetrieeigenschaften geometrischer Figuren,
• die Lage und Anzahl von inneren und äußeren sowie Gitterpunkten auf den Seiten von Vielecken, außerdem
• die Bestimmung der möglichen Art oder Anzahl einfacher geometrischer Figuren.

Ergebnisse für die Anzahl verschiedener Dreiecke bzw. Vierecke auf einem (n×n)-Gitter (für 2 ≤ n ≤ 5):

Die Anzahl der Dreiecke auf einem (n×n)-Gitter berechnet sich gemäß der Formel

${\displaystyle {\begin{array}{lcl}\#\triangle (n)&=&{\binom {n^{2}}{3}}+n{\binom {n+1}{3}}-2\sum _{i=2}^{n}\sum _{k=2}^{n}(n-i+1)(n-k+1)\operatorname {ggT} (i-1,k-1)\\&=&{\frac {1}{6}}(n-1)^{2}n^{2}(n+1)^{2}-2\sum _{i=1}^{n-1}\sum _{k=1}^{n-1}(n-i)(n-k)\operatorname {ggT} (i,k)\end{array}}}$

Die Dreiecke lassen sich zum einen nach Winkelgrößen in die disjunkten Klassen der spitz-, recht- bzw. stumpfwinkligen Dreiecke einteilen, zum anderen nach Seitenlängen in die disjunkten Klassen der unregelmäßigen (ungleichseitigen) Dreiecke und gleichschenkligen Dreiecke – zu letzteren zählen auch die gleichseitigen Dreiecke, die auf dem Geobrett aber nicht vorkommen können.

Offensichtlich ist daher

${\displaystyle \#\triangle =\#\triangle _{\mathrm {spitzwinklig} }+\#\triangle _{\mathrm {rechtwinklig} }+\#\triangle _{\mathrm {stumpfwinklig} }}$

${\displaystyle \#\triangle =\#\triangle _{\mathrm {ungleichseitig} }+\#\triangle _{\mathrm {gleichschenklig} }}$

${\displaystyle \#\triangle _{\mathrm {gleichschenklig} }=\#\triangle _{\mathrm {spitzwinkliggleichschenklig} }+\#\triangle _{\mathrm {rechtwinkliggleichschenklig} }+\#\triangle _{\mathrm {stumpfwinkliggleichschenklig} }}$

Die Vierecke lassen sich aufgrund ihrer Form in die disjunkten Klassen der konkaven und konvexen Vierecke einteilen. Beide können aufgrund von Symmetrieeigenschaften weiter unterteilt werden, wobei sich die Teilklassen im Falle der konvexen Vierecke überschneiden.

Offensichtlich ist daher

${\displaystyle \#\square =\#\square _{\mathrm {konkav} }+\#\square _{\mathrm {konvex} }}$

Außerdem gelten folgende Beziehungen zwischen den konvexen bzw. konkaven Vierecken:

• Quadrate = Rechtecke ∩ Rauten
• Quadrate ⊂ Rechtecke ⊂ Parallelogramme ⊂ Trapeze ⊂ konvexe Vierecke ⊂ Vierecke
• Quadrate ⊂ Rauten ⊂ Parallelogramme ⊂ Trapeze ⊂ konvexe Vierecke ⊂ Vierecke
• Quadrate ⊂ Rauten ⊂ Drachen ⊂ konvexe Vierecke ⊂ Vierecke
• Pfeilvierecke ⊂ konkave Vierecke ⊂ Vierecke

Damit lassen sich die Anzahlen der Vierecksarten, welche nur die untergeordnete Beziehung erfüllen (etwa Rechtecke, die nicht gleichzeitig Quadrate sind) mittels Differenzbildung leicht ermitteln.

Flächenberechnung

Zur Berechnung des Flächeninhalts von Gittervielecken dient der Satz von Pick (1899): Ein Gittervieleck mit ${\displaystyle r}$ Gitterpunkten auf dem Rand und ${\displaystyle i}$ inneren Gitterpunkten hat einen Flächeninhalt von ${\displaystyle A={\tfrac {1}{2}}r+i-1}$ Gitterquadraten.