UHF-Algebra

UHF-Algebren werden im mathematischen Teilgebiet der Funktionalanalysis untersucht. Es handelt sich dabei um eine Klasse von C*-Algebren, die nach ihrem Entdecker James Glimm auch Glimm-Algebren genannt werden. Die UHF-Algebren sind einfach, das heißt, sie besitzen außer 0 und sich selbst keine zweiseitigen Ideale, und sie können zur Konstruktion bestimmter Von-Neumann-Algebren herangezogen werden.

Konstruktion

Es bezeichne $M_{n}$ die C*-Algebra der komplexen $n \times n$ -Matrizen. Ist $n$ ein Teiler von $m$ , so sei $ι : M_{n} \to M_{m}$ derjenige *-Homomorphismus, der eine Matrix aus $M_{n}$ auf diejenige $m \times m$ -Matrix abbildet, die aus $m / n$ Kopien der Ausgangsmatrix längs der Diagonalen besteht, zum Beispiel

M_{2} \to M_{6}, (\begin{matrix} x_{11} & x_{12} \\ x_{21} & x_{22} \end{matrix}) \mapsto (\begin{matrix} x_{11} & x_{12} & 0 & 0 & 0 & 0 \\ x_{21} & x_{22} & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & x_{11} & x_{12} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & x_{21} & x_{22} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & x_{11} & x_{12} \\ 0 & 0 & 0 & 0 & x_{21} & x_{22} \end{matrix})

.

Dieser *-Homomorphismus ist injektiv und bildet das Einselement auf das Einselement ab. Da injektive *-Homomorphismen zwischen C*-Algebren automatisch isometrisch sind, kann man $M_{n}$ in diesem Sinne als Unteralgebra von $M_{m}$ auffassen, und statt $ι$ schreiben wir einfach $M_{n} \subset M_{m}$ .

Ist nun $\vec{n} = (n_{k})_{k \in ℕ}$ eine Folge natürlicher Zahlen $\geq 2$ , so erhält man eine Kette von Inklusionen:

M_{n_{1}} \subset M_{n_{1} \cdot n_{2}} \subset M_{n_{1} \cdot n_{2} \cdot n_{3}} \subset \dots

.

Auf der Vereinigung $⋃_{k = 1}^{\infty} M_{n_{1} \cdot \dots \cdot n_{k}}$ gibt es dann eine eindeutige Norm, die jede der C*-Normen von $M_{n_{1} \cdot \dots \cdot n_{k}}$ fortsetzt, und daher bis auf die Vollständigkeit alle Eigenschaften einer C*-Norm hat. Die Vervollständigung ist daher eine C*-Algebra, die man UHF-Algebra oder Glimm-Algebra vom Rang $\vec{n}$ nennt.

Eigenschaften

Isomorphien

Die UHF-Algebren hängen natürlich von der definierenden Folge $\vec{n} = (n_{k})_{k \in ℕ}$ ab. Zu jeder Primzahl $p$ sei $δ_{\vec{n}} (p) \in ℕ \cup {\infty}$ das Supremum aller $n \in ℕ$ , so dass $p^{n}$ ein Teiler von $n_{1} \cdot \dots \cdot n_{k}$ , wobei $k$ gegen Unendlich läuft. Dadurch wird der definierenden Folge $\vec{n}$ die Folge $δ_{\vec{n}} = (δ_{\vec{n}} (p))_{p}$ zugeordnet, die man in Analogie zur Primfaktorzerlegung natürlicher Zahlen auch als $\prod_{p} p^{δ_{\vec{n}} (p)}$ schreibt und eine übernatürliche Zahl nennt, was freilich nur rein symbolisch zu verstehen ist; $p$ durchläuft hierbei alle Primzahlen. Es gilt

Zwei UHF-Algebren vom Rang $\vec{n}$ bzw. $\vec{m}$ sind genau dann isomorph, wenn die zugeordneten übernatürlichen Zahlen gleich sind, das heißt falls $δ_{\vec{n}} (p) = δ_{\vec{m}} (p)$ für alle Primzahlen $p$ .

Dieser Satz findet sich bereits in . Insbesondere gibt es überabzählbar viele paarweise nicht-isomorphe UHF-Algebren.

UHF-Algebren als AF-Algebren

Nach oben angegebener Konstruktion sind UHF-Algebren spezielle AF-Algebren; letztere sind allerdings erst später eingeführt worden. Ist $\vec{n} = (n_{k})_{k \in ℕ}$ der Rang der UHF-Algebra, so ist das zugehörige Bratteli-Diagramm gegeben durch

\begin{matrix} ⇉ & ⇉ & ⇉ \\ n_{1} & ⋮ & n_{1} \cdot n_{2} & ⋮ & n_{1} \cdot n_{2} \cdot n_{3} & ⋮ & n_{1} \cdot n_{2} \cdot n_{3} \cdot n_{4} \dots \\ \underset{n_{2} mal}{\underset{⏟}{\to}} & \underset{n_{3} mal}{\underset{⏟}{\to}} & \underset{n_{4} mal}{\underset{⏟}{\to}} \end{matrix}

.

Man liest unmittelbar ab, dass alle UHF-Algebren einfach sind, was sich aber auch ohne die Verwendung der Bratteli-Diagramme zeigen lässt. Als AF-Algebren werden UHF-Algebren auch durch ihre geordnete, skalierte K₀-Gruppe klassifiziert, diese ist isomorph zu

{\frac{a}{b}; a, b \in ℤ, b \neq 0, b | n_{1} \cdot \dots \cdot n_{k} für ein k \in ℕ} \subset ℚ

mit der durch [0,1] gegebenen Skala.

Darstellungen

UHF-Algebren sind antiliminal. Jede irreduzible Darstellung ist treu und ihr Bild enthält außer 0 keinen weiteren kompakten Operator. UHF-Algebren besitzen überabzählbar viele, paarweise nicht-äquivalente, irreduzible Darstellungen.

Konstruktion von Faktoren

Jede UHF-Algebra $A$ besitzt einen eindeutigen Spurzustand, das heißt ein stetiges lineares Funktional $τ$ mit $τ (x^{*} x) \geq 0$ , $τ (1) = 1$ und $τ (x y) = τ (y x)$ für alle Elemente $x, y \in A$ . Die zugehörige GNS-Konstruktion liefert eine Darstellung $π_{τ} : A \to L (H)$ auf einem Hilbertraum $H$ . Man kann zeigen, dass der Bikommutant des Bildes $π_{τ} (A)^{'^{'}} \subset L (H)$ ein Typ II₁-Faktor ist.

Man nennt Faktoren hyperfinit, wenn sie als Von-Neumann-Algebren durch eine aufsteigende Folge endlich-dimensionaler Unter-von-Neumann-Algebren erzeugt werden. Daraus leitet sich der Name der UHF-Algebren ab, denn diese liegen in solchen hyperfiniten Faktoren, UHF steht für uniformly-hyperfinite.

Eine besondere Rolle spielt die CAR-Algebra, die gleich der UHF-Algebra mit der übernatürlichen Zahl $2^{\infty}$ ist. In werden Darstellungen dieser Algebra konstruiert, deren Bilder Typ III-Faktoren als Bikommutanten haben.

Einzelnachweise

↑ Gert K. Pedersen: C*-Algebras and Their Automorphism Groups, Academic Press Inc. (1979), ISBN 0125494505, Kapitel 6.4.2
↑ Gert K. Pedersen: C*-Algebras and Their Automorphism Groups, Academic Press Inc. (1979), ISBN 0125494505, Theorem 6.4.6
↑ J. Glimm: On a certain class of operator algebras, Transactions of the Amer. Math. Soc., Band 95 (1960), Seiten 318–340
↑ K. R. Davidson: C*-Algebras by Example, American Mathematical Society (1996), ISBN 0-821-80599-1, Beweis zu Korollar IV.5.8
↑ Gert K. Pedersen: C*-Algebras and Their Automorphism Groups, Academic Press Inc. (1979), ISBN 0125494505, Theorem 6.5.7
↑ Gert K. Pedersen: C*-Algebras and Their Automorphism Groups, Academic Press Inc. (1979), ISBN 0125494505, Korollar 6.4.4
↑ Jacques Dixmier: Von Neumann algebras. North-Holland, Amsterdam 1981, ISBN 0-444-86308-7, III.7.4, Theorem 3
↑ Gert K. Pedersen: C*-Algebras and Their Automorphism Groups, Academic Press Inc. (1979), ISBN 0125494505, Theorem 6.5.15

[1] Gert K. Pedersen: C*-Algebras and Their Automorphism Groups, Academic Press Inc. (1979), ISBN 0125494505, Kapitel 6.4.2

[2] Gert K. Pedersen: C*-Algebras and Their Automorphism Groups, Academic Press Inc. (1979), ISBN 0125494505, Theorem 6.4.6

[3] J. Glimm: On a certain class of operator algebras, Transactions of the Amer. Math. Soc., Band 95 (1960), Seiten 318–340

[4] K. R. Davidson: C*-Algebras by Example, American Mathematical Society (1996), ISBN 0-821-80599-1, Beweis zu Korollar IV.5.8

[5] Gert K. Pedersen: C*-Algebras and Their Automorphism Groups, Academic Press Inc. (1979), ISBN 0125494505, Theorem 6.5.7

[6] Gert K. Pedersen: C*-Algebras and Their Automorphism Groups, Academic Press Inc. (1979), ISBN 0125494505, Korollar 6.4.4

[7] Jacques Dixmier: Von Neumann algebras. North-Holland, Amsterdam 1981, ISBN 0-444-86308-7, III.7.4, Theorem 3

[8] Gert K. Pedersen: C*-Algebras and Their Automorphism Groups, Academic Press Inc. (1979), ISBN 0125494505, Theorem 6.5.15