Gluonenfeld

Das Gluonenfeld ist in der Quantenchromodynamik (QCD), einer speziellen Quantenfeldtheorie (QFT) zur Beschreibung der starken Wechselwirkung und dadurch Teilgebiet der Physik, ein Tensor erster Ordnung zur Beschreibung des Verhaltens von Gluonen. Gluonen sind die Trägerteilchen der von der Farbladung erzeugten starken Wechselwirkung und unterliegen dieser aufgrund eigener Farbladung selbst. Das Gluonenfeld beschreibt lediglich die eigenen Felder der Gluonen selbst. Für die Wechselwirkung mit anderen Teilchen wie Quarks oder von Gluonen untereinander wird der Gluonenfeldstärketensor benutzt, welcher aus den Gluonenfeldern berechnet wird.

Beschreibung

Mathematisch gesehen ist das Gluonenfeld ein Zusammenhang auf einem Hauptfaserbündel, ähnlich wie es auch das Vektorpotential aus der Elektrodynamik ist. Im Gluonenfeld gibt es jedoch neben den vier Komponenten der vierdimensionalen Raumzeit noch zusätzlich acht Komponenten für die acht Farbladungen der Gluonen, wodurch die resultierenden Felder reichhaltiger an Informationen sind und entsprechend deren Wechselwirkungen wesentlich komplizierter sind.

Aus mathematischer Sicht werden in der Quantenchromodynamik die Gluonenfelder mit Koeffizienten in der achtdimensionalen Lie-Algebra ${\displaystyle {\mathfrak {su}}(3)}$ (dritte spezielle unitäre Lie-Algebra) betrachtet, während in der Elektrodynamik die Vektorpotentiale mit Koeffizienten in der eindimensionalen Lie-Algebra ${\displaystyle {\mathfrak {u}}(1)}$ (erste unitäre Lie-Algebra) betrachtet werden. Aus physikalischer Sicht gibt es acht verschiedene Gluonen, jedoch nur ein Photon.

Fortan unterscheiden lateinische Indizes ${\displaystyle a,b=0,\ldots ,7}$ die verschiedenen Gluonen und griechische Indizes ${\displaystyle \mu ,\nu =0,\ldots ,3}$ die vier Komponenten ihrer Zustandsvektoren. Zur Beschreibung der acht Gluonen und all ihrer Vierervektoren sind also ${\displaystyle 32}$ glatte Funktionen:

${\displaystyle {\mathcal {A}}_{\mu }^{a}\colon \mathbb {R} ^{1,3}\rightarrow \mathbb {R} }$

notwendig. Mit der Einsteinschen Summenkonvention, bei welcher über identische kontravariante (obere) und kovariante (untere) Indizes summiert wird, sowie den Gell-Mann-Matrizen ${\displaystyle T}$ lassen sich nun daraus kombinieren:

${\displaystyle {\mathcal {A}}_{\mu }:={\mathcal {A}}_{\mu }^{a}T_{a}\colon \mathbb {R} ^{3,1}\rightarrow {\mathfrak {su}}(3);}$

${\displaystyle {\mathcal {A}}^{a}:={\mathcal {A}}_{\mu }^{a}\mathrm {d} x^{\mu }\colon \mathbb {R} ^{1,3}\rightarrow \operatorname {Hom} (\mathbb {R} ^{1,3},\mathbb {R} );}$

${\displaystyle {\mathcal {A}}:={\mathcal {A}}^{a}T_{a}={\mathcal {A}}_{\mu }\mathrm {d} x^{\mu }={\mathcal {A}}_{\mu }^{a}T_{a}\mathrm {d} x^{\mu }\colon \mathbb {R} ^{1,3}\rightarrow \operatorname {Hom} (\mathbb {R} ^{1,3},{\mathfrak {su}}(3)).}$

Insbesondere sind also ${\displaystyle {\mathcal {A}}^{a}\in \Omega ^{1}(\mathbb {R} ^{1,3})}$ gewöhnliche Differentialformen und ${\displaystyle {\mathcal {A}}\in \Omega ^{1}(\mathbb {R} ^{1,3},{\mathfrak {su}}(3))}$ Lie-Algebrenwertige Differentialformen.

Verbindung zu Operatoren

Quantenfelder, wie eben Gluonenfelder, werden in der Quantenfeldtheorie stets als kommutierende (für bosnische Felder) oder antikommutierende (für fermionische Felder) Operatoren angegeben. Edward Witten beschrieb in seiner einführenden Arbeit für topologische Quantenfeldtheorien (TQFT) aus dem Jahr 1988, welche beim Verleih der Fields-Medaille an ihn im Jahr 1990 angeführt wurde, wie dies aus den Differentialformen zustande kommt: Ein Gluonenfeld ${\displaystyle A_{\mu }^{i}}$ erzeugt einen Operator ${\displaystyle \delta A_{\mu }^{i}}$, der das Dachprodukt mit der Differentialform ist, also ${\displaystyle \delta A_{\mu }^{i}(\omega )=A_{\mu }^{i}\wedge \omega }$. (Genau das wird bei der kovarianten Ableitung betrachtet.) Nun überträgt sich die graduierte Symmetrie des Dachproduktes auf eine Kommutator- oder Antikommutorrelation für diese Operatoren. Dabei ist Vorsicht geboten, da das Dachprodukt bei gewöhnlichen 1-Formen antikommutativ und bei Lie-Algebrawertigen 1-Formen aufgrund eines weiteren Vorzeichenwechsels durch die Antisymmetrie der Lie-Klammer kommutativ ist. Edward Witten betrachtete die antikommutativ Variante, also ${\displaystyle A_{\mu }^{i}\wedge A_{\nu }^{j}=-A_{\nu }^{j}\wedge A_{\mu }^{i}}$ für die Differentialformen und ${\displaystyle \delta A_{\mu }^{i}\circ \delta A_{\nu }^{j}=-\delta A_{\nu }^{j}\circ \delta A_{\mu }^{i}}$ für ihre Operatoren, was sich verkürzt zum Antikommutator:

${\displaystyle \{\delta A_{\mu }^{i},\delta A_{\nu }^{j}\}=0.}$

Mit den Funktionalableitungen, welche den Impuls des Feldes angeben, vervollständigen sich diese zu den bekannten fermionischen Relationen:

${\displaystyle \left\{{\frac {\delta }{\delta A_{\mu }^{i}}},{\frac {\delta }{\delta A_{\nu }^{j}}}\right\}=0;}$

${\displaystyle \left\{{\frac {\delta }{\delta A_{\mu }^{i}}},\delta A_{\nu }^{j}\right\}=g_{\mu \nu }\delta ^{ij}.}$

Literatur

• S. Sarkar; H. Satz; B. Sinha: The Physics of the Quark-Gluon Plasma: Introductory Lectures. Springer, 2009, ISBN 978-3-642-02285-2 (englisch, google.com). 
• Keith Ellis: Quantum Chromodynamics. Februar 2005 (englisch, archive.org [PDF]). 

Einzelnachweise

1. ↑ Edward Witten: Topological quantum field theory. In: Communications in Mathematical Physics. Band 117, Nr. 3, 1988, S. 353–386, doi:10.1007/BF01223371, bibcode:1988CMaPh.117..353W. 
2. ↑ Fields Medals 1990 - Breakthroughs in Mathematics and Physics. Abgerufen am 4. Juli 2026.