Hadamard-Raum

Ein Hadamard-Raum ist ein mathematisches Objekt aus der Geometrie metrischer Räume. Benannt ist er nach dem Mathematiker Jacques Hadamard.

Definition

Ein Hadamard-Raum ist ein vollständiger CAT(0)-Raum.

Äquivalente Definitionen

Sei ${\displaystyle X}$ ein vollständiger metrischer Raum.

Nach Definition ist ${\displaystyle X}$ genau dann ein Hadamard-Raum, wenn er ein CAT(0)-Raum ist, das heißt, wenn er ein geodätischer metrischer Raum ist und alle geodätischen Dreiecke mindestens so dünn wie ihre Vergleichsdreiecke in der euklidischen Ebene sind. Letztere Bedingung lässt sich umformulieren in die Bedingung

${\displaystyle d^{2}(z,m)\leq {\frac {1}{2}}(d^{2}(z,x)+d^{2}(z,y))-{\frac {1}{4}}d^{2}(x,y)}$

für alle ${\displaystyle x,y,z\in X}$, wobei ${\displaystyle m\in X}$ den Mittelpunkt der Geodäte zwischen ${\displaystyle x}$ und ${\displaystyle y}$ bezeichnet.

Auf Bruhat-Tits geht folgende äquivalente Definition zurück:

Ein vollständiger metrischer Raum ${\displaystyle X}$ ist genau dann ein Hadamard-Raum, wenn es zu jedem Paar von Punkten ${\displaystyle x,y\in X}$ einen „Mittelpunkt“ ${\displaystyle m\in X}$ gibt, so dass

${\displaystyle d^{2}(z,m)\leq {\frac {1}{2}}(d^{2}(z,x)+d^{2}(z,y))-{\frac {1}{4}}d^{2}(x,y)}$

für alle ${\displaystyle z\in X}$ gilt.

Beispiele

• Hadamard-Mannigfaltigkeiten: einfach zusammenhängende, vollständige Riemannsche Mannigfaltigkeiten nichtpositiver Schnittkrümmung
• metrische Bäume
• Bruhat-Tits-Gebäude
• Hilbert-Räume

Eigenschaften

Für Hadamard-Räume gilt eine Verallgemeinerung des Satzes von Cartan-Hadamard. Zu beliebigen ${\displaystyle x,y\in X}$ gibt es eine eindeutige Geodäte ${\displaystyle \sigma _{xy}:\left[0,1\right]\rightarrow X}$ mit ${\displaystyle \sigma _{xy}(0)=x,\sigma _{xy}(1)=y}$. Die Geodäte ${\displaystyle \sigma _{xy}}$ hängt stetig von ${\displaystyle x}$ und ${\displaystyle y}$ ab.

Weiterhin gelten für Hadamard-Räume alle Eigenschaften von CAT(0)-Räumen.

Literatur

• Werner Ballmann: Lectures on spaces of nonpositive curvature (= DMV-Seminar. 25). With an appendix by Misha Brin. Birkhäuser, Basel u. a. 1995, ISBN 3-7643-5242-6 (online (PDF; 818 kB)).
• Sergei Buyalo, Viktor Schroeder: Spaces of Curvature Bounded Above. In: Jeffrey Cheeger, Karsten Grove (Hrsg.): Metric and Comparison Geometry (= Surveys in Differential Geometry. 11). International Press, Sommerville MA 2007, ISBN 978-1-57146-117-9, S. 295–328, doi:10.4310/SDG.2006.v11.n1.a10.
• François Bruhat, Jacques Tits: Groupes réductifs sur un corps local. Chapitre 1. Données radicielles valuées. In: Publications Mathématiques de l'IHES. Bd. 41, 1972, ISSN 0073-8301, S. 5–251, doi:10.1007/BF02715544.

Weblinks

• Jacob Lurie: Notes on the Theory of Hadamard Spaces (PDF; 308 kB)