Halbwinkelsatz

Die Halbwinkelsätze sind Formeln der Trigonometrie, die für spezielle, logarithmisch brauchbare Anwendungsfälle zur Ermittlung der Bestimmungsgrößen (Seiten a, b, c; Winkel $α$ , $β$ , $γ$ ) von allgemeinen Dreiecken entwickelt wurden. Entsprechende Sätze gelten für allgemeine Dreiecke auf einer Kugeloberfläche (sphärische Geometrie).

Halbwinkelsätze in der Ebene

$\sin \frac{α}{2} = \sqrt{\frac{(s - b) (s - c)}{b c}}$
$\cos \frac{α}{2} = \sqrt{\frac{s (s - a)}{b c}}$
$\tan \frac{α}{2} = \sqrt{\frac{(s - b) (s - c)}{s (s - a)}}$

wobei $s = \frac{a + b + c}{2}$

Die zur dritten Formel äquivalente Aussage

$\cot \frac{α}{2} = \frac{s - a}{ρ} = \sqrt{\frac{s (s - a)}{(s - b) (s - c)}}$

ist auch als Kotangenssatz bekannt. $ρ$ bezeichnet hier den Inkreisradius.

Entsprechende Formeln gelten für die anderen Winkel.

Halbwinkelsätze auf der Kugeloberfläche

$\sin \frac{α}{2} = \sqrt{\frac{\sin (s - b) \sin (s - c)}{\sin b \sin c}}$
$\cos \frac{α}{2} = \sqrt{\frac{\sin s \sin (s - a)}{\sin b \sin c}}$
$\tan \frac{α}{2} = \sqrt{\frac{\sin (s - b) \sin (s - c)}{\sin s \sin (s - a)}}$

wobei $s = \frac{a + b + c}{2}$

Quellen

Fachredaktion des Bibliographischen Instituts (Hrsg.): Duden Rechnen und Mathematik: Das Lexikon für Schule und Praxis. Bearbeitet von Prof. Dr. Harald Scheid. 4. Auflage. Bibliographisches Institut, Mannheim, Wien, Zürich 1985, DNB 850380359, S. 622.
F. Specht: Herleitung der trigonometrischen Formel für die Tangente des halben Winkels aus den Seiten des Dreiecks. In: Archiv der Mathematik und Physik. 2. Reihe. Mit besonderer Rücksicht auf die Bedürfnisse der Lehrer an höheren Unterrichtsanstalten. Band XIII, 1894, S. 223–224 (Eintrag zbMATH Open).